Plancherel定理

Plancherel定理（又稱Parseval – Plancherel 恒等式 ）是调和分析的重要定理，由Michel Plancherel于 1910 年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说，如果$f(x)$是實數線上的函数，并且${\widehat {f}}(\xi )$是它的频谱，那么

$$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi ,$$

或者寫成$L^{2}$範數:

$$||f(x)||_{L^{2}}=||{\hat {f}}(\xi )||_{L^{2}}$$

數學上更嚴格的描述是，令函数$f$同时屬於两个L ^p空间$L^{1}(\mathbb {R} )$和$L^{2}(\mathbb {R} )$ ，那么它的傅里叶变换${\hat {f}}$屬於$L^{2}(\mathbb {R} )$， 且為$L^{2}(\mathbb {R} )$中的等距變換(isometry)。

這代表限制在$L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$上的傅里叶变换有一個唯一的等距擴張$L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )$，有時候這個擴張也被稱為Plancherel 变换。此變換同時也是幺正(unitary)的，透過此變換，我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里叶变換。

Plancherel 定理可以被推廣到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上，若是滿足一些其他的假設，Plancherel 定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立，更多細節可以參考非交换调和分析。

由於在$L^{2}(\mathbb {R} )$上內積與範數是相容(compatible)的，我們也可以把 Plancherel 定理应用到$L^{2}(\mathbb {R} )$的内积上。也就是說，如果$f(x)$、$g(x)$是两个在$L^{2}(\mathbb {R} )$內的函數，${\mathcal {P}}$表示 Plancherel 变换，则

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,$$

而如果$f(x)$和$g(x)$屬於$L^{1}(\mathbb {R} )$，有

$$({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

以及

$$({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

所以

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$$

參見

• Plancherel theorem for spherical functions

参考

• Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
• Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
• Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .

外部链接

• Plancherel's Theorem on Mathworld