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概率与统计 特色条目

· 蒙提霍爾問題

蒙提霍爾問題圖解

蒙提霍爾問題,亦稱為蒙特霍問題三門問題(英文:Monty Hall problem),是一個源自博弈論數學遊戲問題,大致出自美國電視遊戲節目Let's Make a Deal英语Let's Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾(Monty Hall)。

這個遊戲的玩法是:參賽者會看見三扇關閉了的門,其中一扇的後面有一輛汽車或者是獎品,選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車或獎品,而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊或者是後面沒有任何東西。當參賽者選定了一扇門,但未去開啟它的時候,知道門后情形的節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇,露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率?如果嚴格按照上述的條件的話,答案是。—換門的話,贏得汽車的機率是2/3。

這條問題亦被叫做蒙提霍爾悖論:雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾,亦不違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。

· 误差范围

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误差范围表达了统计结果中的随机波动的大小。这可以视为同样的问卷调查进行多次,其报告的百分比的变化的衡量。误差范围越大,该调查得到的百分比接近“真实”值(也就是在整个样本空间中的百分比)的可能性越低。

误差范围可以通过一次抽样调查得到的每个数字进行计算,除非所进行的是一次非概率抽样。对于以百分比表达的结果,经常可以计算一个最大误差范围,它适用于该调查的所有结果(至少所有基于整个采样的结果)。有时最大误差范围可以直接从采样的大小(回答问卷者的数量)计算。

误差范围通常在三个可信度上给出;99%,95%和90%。99%这个级别是最保守的,而90%的级别是最不保守的。95%的级别最为常用。如果可信度为95%,则整个样本空间的“真实”百分比有95%的可能处于一个问卷的结果的误差范围内。等价的说,误差范围就是95%可信区间的半径。

注意误差范围只考虑随机采样误差。它不考虑潜在的其它误差源,例如问题中的偏向性,没有被调查到的群体所带来的偏差,拒绝回答或者撒谎的人带来的误差,错误记数或者计算带来的偏差,等等。

· 无限猴子定理

一只黑猩猩随机地打字,只要时间足够,必然可以打出法国国家图书馆中的每本书。

无限猴子定理的表述如下:让一只猴子打字机上随机地按键,当按键时间达到无穷时,几乎必然能够打出任何给定的文字,比如莎士比亚的全套著作。

在这里,几乎必然是一个有特定含义的数学术语,“猴子”也不是一只真正意义上的猴子,它被用来比喻成一个可以产生无限随机字母序列的抽象设备。这个理论说明把一个很大但有限的数看成无限的推论是错误的。猴子精确地通过键盘敲打出一部完整的作品比如说莎士比亚的哈姆雷特,在宇宙的生命周期中发生的概率也是极其低的,但并不是零。

这个理论的变化形式包括多个甚至无限多个打字员,以及目标文本从一个完整的图书馆到一个简单的句子。这些表述可以追述到亚里士多德的《论产生和毁灭》和西塞罗的的《论神之本性》,经过布莱兹·帕斯卡乔纳森·斯威夫特,最后到现在的形象的打字员的表述形式。在20世纪早期,埃米尔·博雷尔亚瑟·爱丁顿运用这个理论在统计力学基础中阐述隐式时间标尺。