在数学及其应用中,以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔的名字命名的施图姆-刘维尔方程(英語:Sturm–Liouville theory)是指二阶线性实微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed22ff2571ca9f5bc6f1236c5f57aea09ec786) | | 1 |
其中给定系数函数p(x), q(x), 和w(x)均为已知函数,和y是以x为自由变量的未知的待求解函数,称为解;
是一个未定常数。w(x)又记为r(x),称为'权(weight)'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。
在一个正则的施图姆-刘维尔(S-L)本征值问题中,在有界闭区间[a,b]上,三个系数函数
应满足以下性质:
;
均连续;
满足边界条件
及
(
)。
只有一些恰当的
能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解(非零解)。这些
称为方程的特徵值,对应的非平凡解称为特徵函数,而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中,引入埃尔米特算子,形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性,以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要,尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。
施图姆-刘维尔理论提出:
- 施图姆-刘维尔特徵值问题,存在无限多个实数特徵值,而且可以排序为:
;
- 对于每一个特徵值
都有唯一的(已被归一化的)特徵函数
,且
在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中
称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解;
- 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间
上有正交性和完备性,形成一组正交基:

- 其中
是克罗内克函数。
只要乘以一个恰当的积分因子,所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。
-
- 等价于:
-
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- 注意到 D(1 − x2) = −2x,因此等价于:
-
二体问题常用的换元的技巧是通过 和 将原方程中对时间的求导转化为对角度 的求导,并得到Sturm-Liouville型方程[1]
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- 两边同时除以x3:
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- 再乘以积分因子:
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- 得到:
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- 又注意到:
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- 因此原方程等价于:
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- 两边同时乘以积分因子:
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- 整理后得到:
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- 或者把积分因子写出来:
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