User:王文明/孔雀王朝

超力量建構

我們將通過序列的實數來建構一個超實數域。 事實上，我們可以逐元素地加和乘序列；例如：

$(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )$

對於乘法也有類似的情況。 這將這樣的序列集合變成一個交換環，實際上是一個實數代數 ‘’‘A’‘’。我們通過將實數 ‘‘r’’ 與序列 (‘‘r’’, ‘‘r’’, ‘‘r’’, …) 進行對應，將 ‘’‘R’‘’ 自然嵌入到 ‘’‘A’‘’ 中，並且這種對應保留了實數的對應代數運算。直觀的動機是，例如，使用接近零的序列來表示一個無窮小數。這樣的序列的反數將表示一個無窮大數。如我們將在下面看到的，困難在於需要定義比較這樣的序列的規則，雖然這種規則不可避免地有些任意，但必須是自洽的和明確定義的。例如，我們可能有兩個序列，在前 ‘‘n’’ 個成員中不同，但在此之後相等；這樣的序列顯然應被視為表示相同的超實數。同樣，大多數序列振蕩 隨機永遠，我們必須找到一種方法，將這樣的序列解釋為，比如說，$7+\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一個特定的無窮小數。

因此，比較序列是一件微妙的事情。例如，我們可以嘗試以逐元素的方式定義序列之間的關係：

$(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots$

但在這裡我們遇到了麻煩，因為第一個序列的一些條目可能比第二個序列的對應條目大，而其他一些可能更小。因此，以這種方式定義的關係只是一個偏序。要解決這個問題，我們必須指定哪些位置是重要的。由於有無窮多的指數，我們不希望有限的指數集合是重要的。給出一個一致的指數集合的選擇，這是由任何自由的超濾鏡 ‘‘U’’ 在自然數上給出的；這些可以被描述為不包含任何有限集的超濾鏡。 (Zorn引理保證了許多這樣的 ‘‘U’’ 的存在；壞消息是它們不能被明確地構造。) 我們認為 ‘‘U’’ 是挑選出那些“重要”的指數集合：我們寫 (‘‘a’’₀, ‘‘a’’₁, ‘‘a’’₂, …) ≤ (‘‘b’’₀, ‘‘b’’₁, ‘‘b’’₂, …) 當且僅當自然數集合 { ‘‘n’’ : ‘‘a’’_{‘‘n’’} ≤ ‘‘b’’_{‘‘n’’} } 在 ‘‘U’’ 中。

這是一個全預序，如果我們同意不區分兩個序列 ‘‘a’’ 和 ‘‘b’’ 如果 ‘‘a’’ ≤ ‘‘b’’ 和 ‘‘b’’ ≤ ‘‘a’’，它變成一個全序。有了這個識別，超實數的有序域 ‘’‘*R’‘’ 就被建構出來了。從代數的角度來看，‘‘U’’ 允許我們在交換環 ‘’‘A’‘’ 中定義一個對應的極大理想 ‘’‘I’‘’ (即，那些在 ‘‘U’’ 的某個元素中消失的序列的集合)，然後定義 ‘’‘*R’‘’ 為 ‘’‘A’‘’/‘’‘I’‘’；作為一個交換環與極大理想的商，‘’‘*R’‘’ 是一個域。這也被記為 ‘’‘A’‘’/‘‘U’’，直接用自由超濾鏡 ‘‘U’’ 表示；兩者是等價的。