拟阵有很多等价的定义方式[ 1]
就独立集来说, 一个有限的拟阵
M
{\displaystyle M}
(
E
,
I
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {I}})}
E
{\displaystyle E}
有限集 (称之为 基础集 ) ，
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
E
{\displaystyle E}
集族 (称之为 独立集 ) 它需要满足下面的条件:[ 2]
空集 是独立的, 也就是说,
∅
∈
I
{\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {I}}}
E
{\displaystyle E}
I
≠
∅
{\displaystyle {\mathcal {I}}\neq \emptyset }
每个独立集的子集是独立的, 即： 对于每个子集
A
′
⊂
A
⊂
E
{\displaystyle A'\subset A\subset E}
A
∈
I
{\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}
A
′
∈
I
{\displaystyle A'\in {\mathcal {I}}}
遗传特性 .
如果
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
扩充特性 或者叫 独立集交换特性 . 头两个特性定义了一个公认的组合结构，叫做独立系统 。
对于有限拟阵
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
基底 （英文：basis）。拟阵的一种等价定义为二元组
(
E
,
B
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {B}})}
E
{\displaystyle E}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
E
{\displaystyle E}
M
{\displaystyle M}
基 ，满足以下条件:[ 1]
B
≠
∅
{\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \emptyset }
对于
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
a
∈
A
−
B
{\displaystyle a\in A-B}
b
∈
B
−
A
{\displaystyle b\in B-A}
A
∪
{
b
}
−
{
a
}
∈
B
{\displaystyle A\cup \{b\}-\{a\}\in {\mathcal {B}}}
可以证明，一个有限拟阵的所有基底的元素个数都相同，这个数被称为拟阵的秩 。
对于有限拟阵
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
环路 （英文：circuit）。拟阵的一种等价定义为二元组
(
E
,
C
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {C}})}
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
E
{\displaystyle E}
M
{\displaystyle M}
[ 1]
∅
∉
C
{\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {C}}}
如果
C
1
,
C
2
∈
C
{\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}
C
1
⊆
C
2
{\displaystyle C_{1}\subseteq C_{2}}
C
1
=
C
2
{\displaystyle C_{1}=C_{2}}
对于
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
1
,
C
2
{\displaystyle C_{1},C_{2}}
a
∈
C
1
∩
C
2
{\displaystyle a\in C_{1}\cap C_{2}}
C
3
∈
C
{\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}
C
3
⊆
C
1
∪
C
2
−
{
a
}
{\displaystyle C_{3}\subseteq C_{1}\cup C_{2}-\{a\}}
可以证明，基础集的一个子集是独立集当且仅当它不包含任一环路作为子集。
类似线性代数基底 的性质，拟阵的基底具有类似的性质：
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
秩 。
^ 1.0 1.1 1.2 A standard source for basic definitions and results about matroids is Oxley (1992). An older standard source is Welsh (1976). See Bryzlawski's appendix in White (1986) pp.298–302 for a list of equivalent axiom systems.
^ Welsh (1976) harvtxt error: no target: CITEREFWelsh1976 (help ) , Section 1.2, "Axiom Systems for a Matroid", pp. 7–9.
