第一基本形式

在微分几何中，第一基本形式（first fundamental form）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由 R³ 中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字 I 表示：

\mathrm {I} (v,w)=\langle v,w\rangle .\,

设 $X(u,v)$ 是一个参数曲面，则两个切向量的内积为

{\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}

这里 E, F,与 G 是第一基本形式的系数。

第一基本形式可以表示为一个对称矩阵

\mathrm {I} (v,w)=v^{T}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}w.

进一步的记号

当第一基本形式写成一个参数时，它表示向量与自己的内积，

\mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}.\,

第一基本形式写成现代记法的度量张量。系数则可以写做 $g_{ij}$ ：

\left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}

这个张量的分量是切向量 X₁ 与 X₂ 的数量积：

g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}

对 i, j = 1, 2。具体例子可见下一节。

变数变换

如果有一个曲面具有两个表示参数 $X(u,v)$ 以及 ${\tilde {X}}({\tilde {u}},{\tilde {v}})$ ，则二者的第一基本形式的系数 $E,F,G$ 与 ${\tilde {E}},{\tilde {F}},{\tilde {G}}$ 存在一个关系:

${\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {v}}_{u}\\{\tilde {u}}_{v}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {E}}&{\tilde {F}}\\{\tilde {F}}&{\tilde {G}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}$ ，其中 ${\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{u}&{\tilde {u}}_{v}\\{\tilde {v}}_{u}&{\tilde {v}}_{v}\end{pmatrix}}={\frac {\partial ({\tilde {u}},{\tilde {v}})}{\partial (u,v)}}$ ，所以说可以有