隐藏吸引子(hidden attractor)是动力系统中一种特别的吸引子,系统中不但有稳定的振荡(极限环混沌吸引子),也存在唯一的稳定平衡点

动力系统分岔理论中,若有不失去平稳集稳定性的有界振荡,会称为是隐藏振荡(hidden oscillation)。在非线性控制理论中,非时变系统出现状态有界的隐藏振荡,表示其越过了参数域的边界,平稳集的局部稳定性也表示全域的稳定性(卡尔曼猜想)。若隐藏振荡(或是动力系统相空间内的某隐藏振荡子集)可以吸引邻近几乎所有的振荡,则称为是隐藏吸引子(hidden attractor)。

针对有单一平衡点,而且平衡点具有全域吸引性的动力系统,隐藏振荡的出现表示其行为特性的改变,由单稳定性变成双稳定性(bi-stability)。一般来说,动力系统会变成多稳态,同时在相空间中会同时出现局部的吸引子。平凡吸引子(稳定的平衡点)可以用解析或是数值的方式求得。但要找极限环(周期吸引子)或混沌吸引子的困难度就很高了(参考希尔伯特第十六问题)。

将吸引子分为隐藏或自激两类

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为了要识别物理系统或是数值实验中的局部吸引子,需要在吸引子的吸引区域(basin of attraction)中选定一点为初始状态,观察系统状态从初始状态开始后,吸引子的特性。将吸引子分为隐藏或自激两类,本身就反映出在相空间中找局部吸引子吸引区域的困难点。

定义[1][2][3] 若吸引子的吸引区域没有和其他平衡点的开放邻域有交集,此吸引子称为隐藏吸引子(hidden attractor),否则,此吸引子称为自激吸引子(self-excited attractor)。

将吸引子分为隐藏或自激的想法是由Gennady Leonov英语Gennady LeonovNikolay V. Kuznetsov英语Nikolay V. Kuznetsov提出的,和2009年首次发现蔡氏电路中的隐藏吸引子有关[4][5][6][7]。同样的,任何有界的振荡,若在相空间中不一定有开邻界的吸引区域,则可以分类为自激振荡或隐藏振荡。

 
蔡氏电路中的混沌自激吸引子(绿色区域)。 初始位置在二个鞍点附近(蓝色)或零平衡点附近(橘色)的轨迹会朝向吸引子(绿色)
 
蔡氏电路中的混沌隐蔵吸引子(绿色区域)。 初始位置在二个鞍点附近(蓝色)轨迹会朝向零平衡点(橘色)或是往无穷远处(黑色箭头)
 
在蔡氏电路中二个隐蔵的混沌吸引子和一个隐蔵的周期吸引子一起出现,还有二个平凡的吸引子(在IJBC的封面[7]

自激吸引子

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针对自激吸引子,其吸引区域会伴随一个不稳定的平衡点,因此可以用标准数值的程序来找自激吸引子,使轨迹从不稳定平衡点的邻域开始,看是否会被吸引到某个振荡状态中,若有,即为自激吸引子(自激振荡)。因此,自激吸引子就算和多稳态一起出现,也可用数值的方式发现吸引子,并加以视觉化。在洛伦茨吸引子中,针对经典的参数下,吸引子相对所有存在的平衡点都是自激吸引子, 可以在其附近将轨迹视觉化。不过有些参数下,会有二个平凡的吸引子和自激的混沌吸引子并存(自激吸引子只和不稳定的零平衡点有关)。Van der Pol英语Van der PolB-Z反应若斯叻吸引子蔡氏电路厄农映射的吸引子都是自激吸引子。

伊甸猜想英语Eden’s conjecture是猜想自激吸引子的李雅普诺夫维数英语Lyapunov dimension,不会超过对应不稳定流形的李雅普诺夫维数,也就是和吸引子吸引区域有重叠的不稳定流形[8]

隐藏吸引子

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隐藏吸引子也有吸引区域,但不和其他的平衡点相连,因此在相空间中是“隐藏”的。例如,隐藏吸引子可能是以下系统的吸引子:没有平衡点的系统(例如1902年提出,有Sommerfeld效应英语Sommerfeld effect的旋转机电系统)、只有一个平衡点,且稳定的系统(例如阿依热尔曼猜想的反例以及卡尔曼猜想的反例,这些猜想都是有关非线性控制系统的单稳定性)。最早提出的相关理论问题是希尔伯特第十六问题的后半部,此问题是有关二维多项式系统中,极限环的数量以及相互的位置,而嵌套的稳定极限环就是隐藏的周期吸引子。隐藏吸引子的概念已成为许多应用的动态模型中,发现隐藏吸引子的催化剂[1][9][10]

一般而言,有关隐藏吸引子的问题,没有通用直接的方式来追踪或是预测系统是否会有隐藏吸引子(例如[11])。不过针对二维系统,可以用解析方式观测隐藏吸引子(例如希尔伯特第十六问题的第二个问题)。若要研究复杂非线性多维系统的稳定性和振荡,多半会用数值方法进行。 在多维系统中,不太可能用乱数初始资料进行轨迹积分来找区域性的隐藏吸引子,原因是其吸引区域可能很小,而且其维度可能比系统的维度要小很多。因此这种问题的数值区域化需要发展特殊的数值解析计算程序[1][12][8],可以选择隐藏吸引子吸引区域中的一点作为启始点(不包括平衡点的邻域),再进行轨迹计算。也有一些以同伦(homotopy)和数值延拓法英语numerical continuation(numerical continuation)为基础的有效方式:是建构类似系统的程序,此程序使得针对第一个系统(启始系统)要数值计算振荡解(启始振荡)的初值可以用解析方式求得,接下来将启始振荡转换到允许数值计算的第二个系统。

隐藏吸引子理论

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将吸引子分为自激吸引子和隐藏吸引子,是出现隐藏振荡理论的基本前提,这代表了安德罗诺夫(Andronov)隐藏理论的现代发展。找到全域稳定性的确切边界是关键。N. Kuznetsov将全域稳定性分类为平凡的(依局部的分叉决定)或隐藏的(依照非局部的分叉以及隐藏振荡的出现)两类[13][14]

参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2013, 23 (1): 1330002–219. Bibcode:2013IJBC...2330002L. doi:10.1142/S0218127413300024 . 
  2. ^ Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2021-06-29]. S2CID 21657305. doi:10.1134/S106423071104006X. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  3. ^ Leonov, G.A.; Kuznetsov, N.V.; Mokaev, T.N. Homoclinic orbits, and self-excited and hidden attractors in a Lorenz-like system describing convective fluid motion. The European Physical Journal Special Topics. 2015, 224 (8): 1421–1458. S2CID 119227870. arXiv:1505.04729 . doi:10.1140/epjst/e2015-02470-3. 
  4. ^ Kuznetsov N.V.; Leonov G.A.; Vagaitsev V.I. Analytical-numerical method for attractor localization of generalized Chua's system. IFAC Proceedings Volumes. 2010, 43 (11): 29–33. doi:10.3182/20100826-3-TR-4016.00009. 
  5. ^ Leonov G.A.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V. Localization of hidden Chua's attractors (PDF). Physics Letters. 2011, 375 (23): 2230–2233 [2021-06-29]. Bibcode:2011PhLA..375.2230L. doi:10.1016/j.physleta.2011.04.037. (原始内容存档 (PDF)于2022-01-19). 
  6. ^ Leonov G.A.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V. Hidden attractor in smooth Chua systems (PDF). Physica D. 2012, 241 (18): 1482–1486 [2021-06-29]. Bibcode:2012PhyD..241.1482L. doi:10.1016/j.physd.2012.05.016. (原始内容存档 (PDF)于2022-01-19). 
  7. ^ 7.0 7.1 Stankevich N. V.; Kuznetsov N. V.; Leonov G. A.; Chua L. Scenario of the birth of hidden attractors in the Chua circuit. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2017, 27 (12): 1730038–188. Bibcode:2017IJBC...2730038S. S2CID 45604334. arXiv:1710.02677 . doi:10.1142/S0218127417300385. 
  8. ^ 8.0 8.1 Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Mokaev, T.N.; Prasad, A.; Shrimali, M.D. Finite-time Lyapunov dimension and hidden attractor of the Rabinovich system. Nonlinear Dynamics. 2018, 92 (2): 267–285. S2CID 54706479. arXiv:1504.04723 . doi:10.1007/s11071-018-4054-z. 
  9. ^ Kuznetsov N. V.; Leonov G. A. Hidden attractors in dynamical systems: systems with no equilibria, multistability and coexisting attractors. IFAC Proceedings Volumes (IFAC World Congress Proceedings). 2014, 47 (3): 5445–5454. doi:10.3182/20140824-6-ZA-1003.02501. 
  10. ^ Dudkowski D.; Jafari S.; Kapitaniak T.; Kuznetsov N. V.; Leonov G. A.; Prasad A. Hidden attractors in dynamical systems. Physics Reports (A Review Section of Physics Letters). 2016, 637: 1–50. Bibcode:2016PhR...637....1D. doi:10.1016/j.physrep.2016.05.002. 
  11. ^ Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Yuldashev, M.V.; Yuldashev, R.V. Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017, 51: 39–49. Bibcode:2017CNSNS..51...39K. doi:10.1016/j.cnsns.2017.03.010. 
  12. ^ Chen, G.; Kuznetsov, N.V.; Leonov, G.A.; Mokaev, T.N. Hidden attractors on one path: Glukhovsky-Dolzhansky, Lorenz, and Rabinovich systems. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015, 27 (8): art. num. 1750115. S2CID 21425647. arXiv:1705.06183 . doi:10.1142/S0218127417501152. 
  13. ^ Kuznetsov N.V. Theory of hidden oscillations and stability of control systems (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2020, 59 (5): 647–668. doi:10.1134/S1064230720050093. 
  14. ^ Kuznetsov, N.V.; Mokaev, T.N.; Kuznetsova, O.A.; Kudryashova, E.V. The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension. Nonlinear Dynamics. 2020, 102 (2): 713–732 [2021-06-28]. doi:10.1007/s11071-020-05856-4 . (原始内容存档于2021-06-28). 

书籍

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外部链接

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