圆形函数

拓扑学和微积分中，圆形函数（round function）是流形M上的标量函数$M\to {\mathbb {R} }$，其临界点形成连通分量，每个都同胚于圆$S^{1}$，因此也叫临界环。圆形函数是莫尔斯–博特函数的特例。

黑色圆圈就是其中一个临界环。

例子

例如，令M为环面；

$K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,$

则知映射$X\colon K\to \mathbb {R} ^{3}$

$X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,$

是几乎所有M的参数化。现在，通过射影$\pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }$可得限制条件

$G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,$

$G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta$是临界集定义为

${\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0)$

的函数，当且仅当$\theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}$。

$\theta$这两个值给出临界集

$X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,$

$X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,$

代表环面M上的两个极值圆。 注意此函数的黑塞矩阵是

${\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}$

这清楚地表明，在标记圆处${\rm {rank}}({\rm {hess}}(G))=1$、使临界点退化；也就是说，这表明临界点不是孤点。

圆复杂度

模仿LS范畴论，可以定义流形上是否存在圆形函数和/或临界环的最小数目的圆复杂度。

参考文献

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.[1]. An update at [2]