阿依热尔曼猜想

阿依热尔曼猜想(Aizerman's conjecture)或阿依热尔曼问题猜想(Aizerman problem)是非线性控制的猜想,认为一线性系统有非线性的回授,不过是在一个扇形的线性区间内,若线性系统在此扇形线性区间都稳定,则整个系统都会稳定。

阿依热尔曼猜想在一维系统成立,在二维系统是全域稳定的充份必要条件,而针对维度大于3的情形,这个猜想已找到反证[1][2],不过后来因此推导出(有效的)非线性控制全域稳定性准则

阿依热尔曼猜想的数学描述

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考虑一个系统,其中包括一个纯量非线性的函数

 
其中P是常数n×n矩阵、q和r是常数n维向量、∗ 是转置算子、f(e)是纯量函数,且 f(0)=0。假设非线性函数f是有扇型区间的上下限,也就是存在实数  ,满足 ,且函数 满足
 

阿依热尔曼猜想就是指此系统在全域稳定(有唯一稳定点,而且是全域吸引子)若所有在f(e)=ke, k ∈(k1,k2)下的线性系统都是渐近稳定。

存在阿依热尔曼猜想的反例,非线性函数在线性稳定的范围内,且系统除了唯一的稳定平衡点外,还有稳定的周期解—隐蔽振荡[2][3][4][5]

卡尔曼猜想是强化版本的阿依热尔曼猜想,在非线性回授的部份要求回授的微分需在线性稳定区间内,结果也存在反例。

参考资料

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  1. ^ Aizerman's and Kalman's conjectures and DF method (PDF). [2019-04-04]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  2. ^ 2.0 2.1 Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-04-04]. doi:10.1134/S106423071104006X. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  3. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-04-04]. doi:10.1134/S1064562411040120. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  4. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2011, 18 (1): 2494–2505 [2019-04-04]. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. (原始内容存档 (PDF)于2020-07-09). 
  5. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013, 23 (1): art. no. 1330002. doi:10.1142/S0218127413300024. 

延伸阅读

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外部链接

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