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此條目介紹的是信源編碼的數據壓縮理論。關於計算機編程術語,請見「
源代碼」。
在信息論中,香農的信源編碼定理(或無噪聲編碼定理)確立了數據壓縮的限度,以及香農熵的操作意義。
信源編碼定理表明(在極限情況下,隨着獨立同分布隨機變量數據流的長度趨於無窮)不可能把數據壓縮得碼率(每個符號的比特的平均數)比信源的香農熵還小,又不丟失信息。但是有可能使碼率任意接近香農熵,且損失的概率極小。
碼符號的信源編碼定理把碼字的最小可能期望長度看作輸入字(看作隨機變量)的熵和目標編碼表的大小的一個函數,給出了此函數的上界和下界。
信源編碼是從信息源的符號(序列)到碼符號集(通常是bit)的映射,使得信源符號可以從二進制位元(無損信源編碼)或有一些失真(有損信源編碼)中準確恢復。這是在數據壓縮的概念。
在信息論中,信源編碼定理[1]非正式地陳述[2][3]為:
N 個熵均為 H(X) 的獨立同分布的隨機變量在 N → ∞ 時,可以很小的信息損失風險壓縮成多於 N H(X) bit;但相反地,若壓縮到少於 N H(X) bit,則信息幾乎一定會丟失。
令 Σ1, Σ2 表示兩個有限編碼表,並令 Σ∗
1 和 Σ∗
2 (分別)表示來自那些編碼表的所有有限字的集合。
設 X 為從 Σ1 取值的隨機變量,令 f 為從 Σ∗
1 到 Σ∗
2 的唯一可譯碼,其中 |Σ2| = a。令 S 表示字長 f (X) 給出的隨機變量。
如果 f 是對 X 擁有最小期望字長的最佳碼,那麼(Shannon 1948):
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對於 1 ≤ i ≤ n 令 si 表示每個可能的 xi 的字長。定義 ,其中 C 會使得 q1 + ... + qn = 1。於是
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其中第二行由吉布斯不等式推出,而第五行由克拉夫特不等式推出:
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因此 log C ≤ 0.
對第二個不等式我們可以令
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於是
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因此
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並且
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因此由克拉夫特不等式,存在一種有這些字長的無前綴編碼。因此最小的 S 滿足
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- ^ C.E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379–423, 623-656, July, October, 1948
- ^ David J. C. MacKay. Information Theory, Inference, and Learning Algorithms (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) Cambridge: Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-64298-1
- ^ Cover, Thomas M. Chapter 5: Data Compression. Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. 2006. ISBN 0-471-24195-4.