布羅卡點(Brocard points)是三角形內的特殊點,以法國數學家亨利·布羅卡的名字命名。

三角形的布羅卡點,位於三個圓的交點

定義

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在邊長為abc的三角形ABC中,只存在一個點P,使得線段APBPCP分別與cab形成相同的角ω,也就是說, 。點P稱為三角形ABC第一布羅卡點,而角ω則稱為三角形的布羅卡角。以下的等式是成立的:

 

在三角形ABC中還有第二布羅卡點Q,使得線段AQBQCQ分別與bca形成相同的角。也就是說, 。第二布羅卡點與第一布羅卡點具有相同的布羅卡角。也就是說,  是相等的。

三角形的兩個布羅卡點是密切相關的。實際上,三角形ABC的第一布羅卡點就是三角形ACB的第二布羅卡點。

作圖

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作一個通過A和B的圓,與三角形的BC邊相切。圓心位於AB的垂直平分線與過點B且與BC垂直的直線的交點。類似地,也作一個通過B和C且與AC相切的圓,以及一個通過A和C且與AB相切的圓。則三個圓相交於同一點,這個點就是三角形ABC的第一布羅卡點。

類似地,也可以作出ABC的第二布羅卡點。

參考文獻

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  • Ross Honsberger, "The Brocard Points," Chapter 10 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1995.