樹狀數組二元索引樹(英語:Binary Indexed Tree),又以其發明者命名為芬威克樹(英語:Fenwick tree),最早由彼得·M·芬威克(Peter M. Fenwick)於1994年以《A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables》[1]為題發表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解決數據壓縮裡的累積頻率(Cumulative Frequency)的計算問題,現多用於高效計算數列的前綴和, 區間和。它可以以的時間得到任意前綴和,並同時支持在時間內支持動態單點值的修改。空間複雜度

樹狀數組
類型二元樹
發明時間1989年
發明者鮑里斯·里亞布科
大O符號表示的時間複雜度
算法 平均 最差
空間
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根據數組[1, 2, 3, 4, 5]來創建對應的樹狀數組

結構起源

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按照彼得·M·芬威克的說法,正如所有的整數都可以表示成2的冪和,我們也可以把一串序列表示成一系列子序列的和。採用這個想法,我們可將一個前綴和劃分成多個子序列的和,而劃分的方法與數的2的冪和具有極其相似的方式。一方面,子序列的個數是其二進制表示中1的個數,另一方面,子序列代表的f[i]的個數也是2的冪。[2][3][4]

基本操作

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預備函數

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定義一個lowbit函數,返回參數轉為二進制後,最後一個1的位置所代表的數值。

例如,lowbit(34)的返回值將是2;而lowbit(12)返回4;lowbit(8)返回8。

將34轉為二進制為(0010 0010)2。這裡的「最後一個1」指的是從 位往前數,見到的第一個1,也就是 位上的1。

程序上,(~i + 1) & i表明了最後一位1的值。

仍然以34為例,~(0010 0010)的結果是1101 1101(221),加1後為1101 1110(222),把0010 0010與1101 1110作AND,得0000 0010(2)。

lowbit的一個簡便求法:(C++)

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

新建

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定義一個數組 BIT,用以維護 的前綴和,則: 

具體能用以下方式實現:(C++)

void build()
{ 
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++)
    {
        BIT[i] = A[i - 1];
        for (int j = i - 2; j >= i - lowbit(i); j--)
            BIT[i] += A[j];
    }
}
//注:这里的求和将汇集到非终端结点(D00形式)
//BIT中仅非终端结点i值是 第0~i元素的和
//终端结点位置的元素和,将在求和函数中求得
//BIT中的index,比原数组中大1

修改

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假設現在要將 的值增加delta,

那麼,需要將 覆蓋的區間包含 的值都加上delta,

這個過程可以寫成遞歸,或者普通的循環。

需要計算的次數與數據規模N的二進制位數有關,即這部分的時間複雜度是 

修改函數的C++寫法:

void edit(int i, int delta)
{
    for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j))
        BIT[j] += delta;
}

求和

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假設我們需要計算 的值。

  1. 首先,將ans初始化為0,將i初始化為k。
  2. 將ans的值加上BIT[i]
  3. 將i的值減去lowbit(i)
  4. 重複步驟2~3,直到i的值變為0。

求和函數的C/C++寫法:

int sum (int k)
{
    int ans = 0;
    for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i))
        ans += BIT[i];
    return ans;
}

時空複雜度

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  • 初始化複雜度最優為: 
  • 單次詢問複雜度: ,其中N為數組大小
  • 單次修改複雜度: ,其中N為數組大小
  • 空間複雜度: 

擴展

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樹狀數組可以通過維護差分數組來處理區間修改和單點查詢。具體地,當我們在   增加   時只需執行 edit(l,d)edit(r+1,-d) 。查詢則與單點修改區間查詢相似。

應用

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求逆序對數[5]

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逆序對數是一個數列中在它前面有比它大的個數。如4312的逆序對數是0+1+2+2=5。

可以先把數列中的數按大小順序轉化成  的整數(離散化),使得原數列成為一個 的排列 ,創建一個樹狀數組,用來記錄這樣一個數組 (下標從1算起)的前綴和:若排列中的數 當前已經出現,則 的值為 ,否則為 。初始時數組 的值均為 ,從排列中的最後一個數開始遍歷,每次在樹狀數組中查詢有多少個數小於當前的數 (即用樹狀數組查詢數組 目前 個數的前綴和)並加入計數器,之後對樹狀數組執行修改數組  個數值加 的操作。

參考文獻

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  1. ^ Peter M. Fenwick. A new data structure for cumulative frequency tables. Software: Practice and Experience. 1994, 24 (3): 327–336 [2015-10-24]. doi:10.1002/spe.4380240306. (原始內容存檔於2021-02-25). 
  2. ^ Binary indexed tree-树状数组. [2012-05-09]. (原始內容存檔於2019-08-23). 
  3. ^ Binary Indexed Trees. [2012-05-09]. (原始內容存檔於2016-06-16). 
  4. ^ TopCoder树状数组教程的译文. [2012-11-18]. (原始內容存檔於2013-04-10). 
  5. ^ 存档副本. [2012-05-11]. (原始內容存檔於2019-11-30).