理想的根

在數學中的環論領域，一個理想的根是一個較大的理想，它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。

理想的根又可分為雅各布森根與冪零根，前者較後者為大。

交換環的冪零根

設 $R$ 為交換環， $I\subset R$ 為其理想。該理想的冪零根 $\mathrm {Rad} (I)$ （或 ${\sqrt {I}}$ ）定義為

{\hbox{Rad}}(I)=\{r\in R|\exists n,\;r^{n}\in I\ \}

。

由二項式定理可知 $\mathrm {Rad} (I)$ 也是一個理想，並包含 $I$ 。當取 $I=\{0\}$ 時，相應的根即是冪零元素的集合，也稱作環的冪零根，有時記為 $\mathrm {nil} (R)$ 。記 $\pi :R\to R/I$ 為商同態，則

{\hbox{Rad}}(I)=\pi ^{-1}({\hbox{nil}}(R/I))

利用局部化技巧，也可證明

{\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec}}(R):P\supset I\}

。

為具體起見，考慮較簡單的例子 $R=\mathbb {Z}$ 。每個非零理想都可寫成 $I=(\prod _{i}p_{i}^{e_{i}})$ ，此處 $p_{1},p_{2},\ldots$ 取遍所有素數， $e_{i}$ 則是非負整數。易證

{\sqrt {I}}=(\prod _{e_{i}>0}p_{i})

。

設 $R$ 為環（未必交換），其雅各布森根 $J(R)$ 定義為所有單右 $R$ -模的零化子之交。對於雙邊理想 $I\subset R$ ，設 $\pi :R\to R/I$ 為商同態，定義 $J(I):=\pi ^{-1}(J(R/I))$ 。

雅各布森根還有諸種等價的定義。當 $R$ 交換時，有下述簡單的性質：

{\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec-max}}(R):P\supset I\}

。

換言之，此即所有包含 $I$ 的極大理想之交。由此立見 $J(I)\supset {\hbox{Rad}}(I)$ 。

David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.