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真空電容率 ,又稱為真空介電係數 ,或電常數 ,是一個常見於電磁學 的物理常數 ,符號為
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
。在國際單位制 裏,真空電容率的數值為[ 1] :
ϵ
0
≈
8.854
187
817
…
×
10
−
12
{\displaystyle \epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\dots \ \times 10^{-12}}
法拉 /米 。
真空電容率
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
可以用公式定義為
ϵ
0
=
d
e
f
1
μ
0
c
0
2
{\displaystyle \epsilon _{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}{c_{0}}^{2}}}}
;
其中,
c
0
{\displaystyle c_{0}}
是光波 傳播於真空 的光速 [ 2] ,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
是真空磁導率 。
採用國際單位制 ,
c
0
{\displaystyle c_{0}}
的數值定義為[ 3]
299
792
458
{\displaystyle 299\ 792\ 458}
米/秒,但根據2019年新國際單位制 ,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
的數值是近似值。因此,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
的數值不是定義值,近似為[ 1]
ϵ
0
≈
8.854
187
817
…
×
10
−
12
{\displaystyle \epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}}
安培 2 秒4 公斤-1 米-3 (或者法拉/米)。
這些數值都可以在2006 CODATA報告裏找到[ 4] 。
真空電容率出現於電位移
D
{\displaystyle \mathbf {D} \,\!}
的定義式:
D
=
d
e
f
ϵ
0
E
+
P
{\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,\!}
;
其中,
E
{\displaystyle \mathbf {E} \,\!}
是電場 ,
P
{\displaystyle \mathbf {P} \,\!}
是電介質 的經典電極化強度 。
學術界常遇到一個錯誤的觀點,就是認為真空電容率
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是一個可實現真空的一個物理性質。正確的觀點應該為,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是一個度量系統常數,是由國際公約發表和定義而產生的結果。
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
的定義值是由光波在參考系統的光速或基準(benchmark )光速的衍生而得到的數值。這參考系統稱為自由空間 ,被用為在其它各種介質的測量結果的比較基線。可實現真空,像外太空 、超高真空 (ultra high vacuum )、量子色動真空 (QCD vacuum )、量子真空 (quantum vacuum )等等,它們的物理性質都只是實驗和理論問題,應與
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
分題而論。
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
的含義和數值是一個度量衡學 (metrology )問題,而不是關於可實現真空的問題。為了避免產生混淆,許多標準組織現在都傾向於採用電常數 為
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
的名稱。
如同前面所述,真空電容率
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是一個度量系統常數。它的出現於電磁量的定義方程式,主要是因為一個稱為理想化 的程序。只使用純理論的推導,馬克士威方程組 奇異地預測出,電磁波 以光速傳播於自由空間。繼續推論這個預測,就可以給出
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
的數值。若想了解為什麼
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
會有這數值,必須稍微閱讀一下電磁度量系統的發展史。
在以下的講述中,請注意到我們經典物理並不特別區分「真空」和「自由空間」這兩個術語。當今文獻裏,「真空」可能指為很多種不同的實驗狀況和理論實體。在閱讀文獻時,只有上下文可以決定術語的含意。
查爾斯·庫侖 和其它物理學家的實驗,證明庫侖定律 :分開距離為
r
{\displaystyle r\,\!}
,電量 都是
Q
{\displaystyle Q\,\!}
的兩個點電荷 ,其相互作用於對方的力
F
{\displaystyle F\,\!}
,可以用方程式表達為
F
=
k
e
Q
2
r
2
{\displaystyle F={\frac {k_{\mathrm {e} }Q^{2}}{r^{2}}}\,\!}
;
其中,
k
e
{\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}
是個常數。
假若,對其它變量不加以任何約束,則
k
e
{\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}
可以任意地設定。對於每一個不同的
k
e
{\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}
數值設定,
Q
{\displaystyle Q\,\!}
的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清,每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號[ 5] 。
厘米-克-秒靜電制 是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏,常數
k
e
{\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}
的數值被設定為1,電荷量的因次被稱為高斯電荷量 。這樣,作用力的方程式變為
F
=
q
s
2
r
2
{\displaystyle F={\frac {{q_{s}}^{2}}{r^{2}}}\,\!}
;
其中,
q
s
{\displaystyle q_{s}\,\!}
是高斯電荷量。
假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量,分隔距離是1公分。則兩個點電荷相互作用於對方的力是1 達因 。那麼,高斯電荷量的因次也可以寫為「達因1/2 公分」。這與國際單位制 的因次,「牛頓1/2 公尺」,有同樣的因次。但是,高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖 來測量的。
後來,科學家覺得,對於球幾何 案例,應該加入因子
4
π
{\displaystyle 4\pi \,\!}
於庫侖定律,表達方程式為
F
=
k
e
′
q
s
′
2
/
4
π
r
2
{\displaystyle F=\;k'_{\mathrm {e} }{q'_{s}}^{2}/4\pi r^{2}\,\!}
;
其中,
k
e
′
{\displaystyle k'_{\mathrm {e} }\,\!}
、
q
s
′
{\displaystyle q'_{s}\,\!}
分別為新的常數和電荷量。
這個點子稱為理想化 。設定
k
e
′
=
1
{\displaystyle k'_{\mathrm {e} }=1\,\!}
。電量單位也改變了,但是,電量的因次仍舊是「達因1/2 公分」。
下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量,標記為
q
{\displaystyle q\,\!}
,將庫侖定律寫為它的現代形式:
F
=
q
2
/
4
π
ϵ
0
r
2
{\displaystyle F=q^{2}/4\pi \epsilon _{0}r^{2}\,\!}
。
很明顯地,舊厘米-克-秒靜電制裏的電量
q
s
{\displaystyle q_{s}\,\!}
與新的國際標準制電量
q
{\displaystyle q\,\!}
的關係式為
q
s
=
q
/
4
π
ϵ
0
{\displaystyle q_{s}=q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}
。
採用國際標準制,要求力的單位為牛頓,距離的單位為公尺,電荷量的單位為工程師的實用單位,庫侖,定義為1 安培 的電流 在1秒鐘內所累積的電荷量。那麼,真空電容率的因次應該是
「庫侖2 牛頓-1 公尺-2 」(或者,「法拉1 公尺-1 」)。
真空電容率的數值可以從馬克士威方程組 求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式:
∇
⋅
E
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}
、
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}
、
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}
、
∇
×
B
=
ϵ
0
μ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
;
其中,
E
{\displaystyle \mathbf {E} \,\!}
是電場 ,
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
是磁感應強度 。
取第四個馬克士威方程式的旋度 ,
∇
×
(
∇
×
B
)
=
ϵ
0
μ
0
∂
(
∇
×
E
)
∂
t
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {E} )}{\partial t}}\,\!}
。
將第二個馬克士威方程式(法拉第方程式)代入,則可得到
∇
×
(
∇
×
B
)
=
−
ϵ
0
μ
0
∂
2
B
∂
t
2
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}
。
應用一個向量恆等式 ,
∇
×
(
∇
×
B
)
=
∇
(
∇
⋅
B
)
−
∇
2
B
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}
。
再注意到第三個馬克士威方程式(高斯磁定律 ),所以,
∇
×
(
∇
×
B
)
=
−
∇
2
B
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}
。
這樣,就可以得到光波 的磁場波動方程式 :
∇
2
B
−
ϵ
0
μ
0
∂
2
B
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0\,\!}
。
以同樣的方式,也可得到光波的電場波動方程式:[ 註 1]
∇
2
E
−
ϵ
0
μ
0
∂
2
E
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}
。
這光波傳播的速度(光速
c
0
{\displaystyle c_{0}\,\!}
)是
c
0
=
1
/
ϵ
0
μ
0
{\displaystyle c_{0}=1/{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,\!}
。
這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率,這三個物理量的相互關係。原則上,科學家可以選擇以庫侖,或是以安培為基本電磁單位[ 6] 。經過仔細的考量,國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\,\!}
、
c
0
{\displaystyle c_{0}\,\!}
的數值設定了
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
的數值。若想知道如何決定
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\,\!}
的數值,請參閱條目真空磁導率 。
自由空間 (free space )是一個理想的參考狀態,可以趨近,但是在物理上是永遠無法達到的狀態。可實現真空有時候被稱為部分真空 (partial vacuum ),意指需要超低氣壓,但超低氣壓並不是近似自由空間的唯一條件[ 7] 。
與經典物理內的真空不同,現今時代的物理真空意指的是真空態 (vacuum state ),或量子真空。這種真空絶對不是簡單的空無一物的空間[ 8] [ 9] 。因此,自由空間不再是物理真空的同義詞。若想要知道更多細節,請參閱條目自由空間 和真空態 。
對於為了測量國際單位的數值,而在實驗室製成的任何部分真空,一個很重要的問題是,部分真空是否可以被滿意地視為自由空間的實現?還有,我們必須怎樣修正實驗的結果,才能使這些結果適用於基線?例如,為了彌補氣壓高於零而造成的誤差,科學家可以做一些修正[ 10] 。
若想知道怎樣才能製成優良的部分真空,請參閱條目超高真空 (ultra high vacuum )和自由空間 。
請注意,這些缺陷並不會影響真空電容率
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
的意義或數值。
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是個定義值,是由國際標準組織,通過光速和真空磁導率的定義值而衍生的。
^ 取第二個馬克士威方程式(法拉第方程式)的旋度 ,並將第四個馬克士威方程式
∇
×
B
=
ϵ
0
μ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
代入,則可得到
∇
×
(
∇
×
E
)
=
−
∂
(
∇
×
B
)
∂
t
=
−
ϵ
0
μ
0
∂
2
E
∂
t
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {B} )}{\partial t}}\\&=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}}
。
應用一個向量恆等式 ,再代入第一個馬克士威方程式
∇
⋅
E
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}
,即得
∇
×
(
∇
×
E
)
=
∇
(
∇
⋅
E
)
−
∇
2
E
=
−
∇
2
E
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\&=-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\\end{aligned}}}
。
這樣,就可以得到光波 的電場波動方程式
∇
2
E
−
ϵ
0
μ
0
∂
2
E
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}
。
^ 1.0 1.1 CODATA. Electric constant . 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08 ] . (原始內容存檔 於2007-04-23).
^ 引述自
NIST(國家標準與技術學院):現行的慣例是按照ISO 31 的建議,用
c
0
{\displaystyle c_{0}}
來標記在真空的光速。原本的1983年建議書主張採用
c
{\displaystyle c}
來做此用途。
^ NIST對於公尺的定義 (html) . NIST. [2009-06-01 ] . (原始內容存檔 於2011-08-22).
^ CODATA報告 (pdf) . NIST. [2009-06-01 ] . (原始內容存檔 (PDF) 於2018-06-12).
^ Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820 .
^
John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999: Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq. 。. ISBN 047130932X . 怎樣選擇獨立單位的敘述
^ 物理術語部分真空 指出,近似真空和自由空間的一個主要分歧源點,是來自於無法達到0氣壓。但是,還有其它非理想性的可能源點。參閱,例如,Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave , Phys.Rev.Lett., 2006, 97 : 083603 [2016-02-21 ] , (原始內容存檔 於2021-05-20) Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions , Phys. Rev. Letts., 2006, 97 : 140402 [2009-06-01 ] , (原始內容存檔 於2021-05-20)
^ Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge;在物理書 Laser physics at the limits . Berlin/New York: Springer. 2002: 197. ISBN 3540424180 .
^ Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach . Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284 .
^ 對於這類修正,CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002)p. 195 (頁面存檔備份 ,存於網際網路檔案館 )的建議是:
♦ …在每一個案例裏,為了要處理真實發生的事件,像繞射、地心引力,或不完美的真空等等,任何必要的修正都必須仔細執行。
除此以外,
♦ …科學家認為公尺是單位固有長度 (proper length )。公尺的定義,只適用於一個足夠小的區域內,這樣,可以忽略重力場 的不均勻性。
CIPM是國際重量和度量會議 (International Committee for Weights and Measures )的首字母縮略字。