豪斯多夫距離

豪斯多夫距離量度度量空間中緊子集之間的距離。

定義

設X和Y是度量空間M的兩個緊子集。那麼豪斯多夫距離d_H(X,Y)是最小的數r使得X的閉r—鄰域包含Y，Y的閉r—鄰域也包含X。換句話說，若d(x, y)表M中的距離，那麼

$d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max\{\,\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}d(x,y),\,\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}d(x,y)\,\}{\mbox{.}}\!$

這距離函數令M的所有緊子集組成的集成為度量空間，且記為F(M)。F(M)的拓撲只是依賴於M的拓撲。若M是緊的，則F(M)也是。

豪斯多夫空間也可以照樣定義在M的閉非緊子集上，但距離可能是無限大，F(M)的拓撲不只依賴於M的拓撲，也依賴於M的特有度量。非閉子集間的豪斯多夫距離可以定義為它們的閉包的豪斯多夫距離。這給予M的所有子集組成的集一個偽度量。（兩個有相同閉包的子集的豪斯多夫距離是零）。

在歐幾里得幾何常用一個類似概念，稱為在等距同構下的豪斯多夫距離。設X 和Y是歐幾里得空間中兩個緊的圖形，則D_H(X,Y)是d_H(I(X),Y)取所有歐幾里得空間的保距變換I的最小值。這距離量度X和Y離等距差多少。

引用

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0131816292.