超冪*R模型

超冪*R模型是由美國數學家梵·奧士達根據日本數學家高橋的思想創立的簡化的非標準分析模型。

考慮一個整點階梯函數 x=x(t),n≤t<n+1，n=0,1,2,3,…….並稱之為過程量。若x(t)≡c,則稱之為常過程量（對應於實數c）；若x(t)趨於零，則稱之為趨零過程量。可以想象各種趨零過程量當可以用來規定各種不同的無窮小，而關鍵在於確立劃分標準，這就引出超濾集的概念。

先定義〈x〉={x(t)|n≤t<n+1}是具有某種性質的x(t)的等價類。再定義濾集的概念：Ω稱為u上的濾集，如果Ω⊆Ρ〔u〕且滿足：

1）¬〔ø∈Ω〕

2)（〔α∈Ω）∧〔β∈Ω〕）→〔α∩β∈Ω〕

3）〔〔α⊆β⊆u〕∧〔α∈Ω〕〕→〔β∈Ω〕

特別地，如果u中的子集，要麼在Ω中，要麼不在Ω中，則Ω稱為u上的超濾集。可以證明至少存在一個超濾集Ω。那麼不難得到如下排中律：α={x(t)|x(t)具有性質p},β={x(t)|x(t)不具有性質p},則α∩β=ø且α∪β=u.

那麼〈x>={x(t)|n≤t<n+1,n∈Ω}叫做一個超實數，並定義其四則運算及序關係如下：

1）<x>±<y>={x(t)±y(t)|n≤t<n+1,n∈Z∈Ω}

2) <x>·<y>={x(t)·y(t)| n≤t<n+1,n∈Z∈Ω}

3) <x>/<y>={x(t)/y(t)|n≤t<n+1,n∈Z∈Ω,y(t)≠0}

4) <x>≤<y>⇔{n|x(t)≤y(t),n≤t<n+1}∈Ω

由上可證得超實數的各種基本性質，如三分律、結構定理（即有限數β=α+ε，記α=st[β])、等和原理……等。其他部分與非標準分析原模型基本一致。

參考文獻

具體參見徐利治的《微積分大意》及魯濱遜的《非標準分析》。