分區問題

分區問題（英語：Partition problem）是數論和計算機科學領域的問題，目的是把一個多重集$S$分為$S_{1}$和$S_{2}$兩個子集，要求$S_{1}$和$S_{2}$這兩個集合中所有數的和相等。儘管分區問題屬於NP完全問題，但是依然存在偽多項式時間的動態規劃解法，而且在很多情況下也存在啟發式的解法，能夠求出最優解或近似最優解。正是基於這一點，這類問題也被稱為「最簡單的難題」。

分區問題存在一個最佳化問題，該問題是將$S$分為$S_{1}$和$S_{2}$，要求$S_{1}$中元素的和與$S_{2}$中元素的和相差最小。這一問題屬於NP困難問題，但在實踐中依舊存在高效的解法。

分區問題是以下兩個相關問題的特殊情況：

• 子集和問題：從集合$S$找到一個子集，使其所有元素的和等於一給定值$T$（分區問題就是T為$S$所有元素之和的${\frac {1}{2}}$時的特殊情況）
• 多路數字分區：將集合$S$分為$k$個子集，要求每個子集的元素之和都相等（分區問題就是$k=2$時的特殊情況）
• 但是需要注意的是，三分區問題與分區問題有很大不同，三分區問題要求每個子集中都有3個元素。三分區問題比分區問題更難，甚至連偽多項式時間算法都不存在，除非滿足P=NP。

實例

現有多重集$S={3,1,1,2,2,1}$，可以被分為$S_{1}={1,1,1,2}$以及$S_{2}={2,3}$，兩者元素之和皆為5。

參考文獻

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• Mertens, Stephan, A complete anytime algorithm for balanced number partitioning, 1999, arXiv:cs/9903011