希爾伯特公理

希爾伯特公理(Hilbert's Axioms)是歐幾里得幾何的現代化基石,由大衛·希爾伯特於1899年在其著作 Grundlagen der Geometrie(中譯:《幾何基礎》)中提出。

除本套公理以外,亦有其他對歐幾里得幾何的公理化嘗試,如塔斯基公理​(英語以及伯克霍夫公理​(英語

公理內容

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希爾伯特的公理系統由六種基本符號組成。其中,有三種基本對象:直線(簡稱「線」)、平面(簡稱「面」);以及三種基本關係

  • 夾(betweenness):一種聯繫點的三元關係;
  • 落(lies on)/含(containment):一組三種二元關係,分別聯繫點與直線、點與平面,以及平面與直線;
  • 同(congruence):一組兩種二元關係,分別聯繫兩條線段或兩個,均以中綴符號 ≅ 表示。

上面提到的線段、角,以及更多諸如三角形之類的概念,均可在點線面的基本對象上,運用夾與含這兩種基本關係加以定義。下面所列出的公理中,除非特別聲明,所有提及的對象都是互異的。

一、所在

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  1. 給定任意兩點 AB,存在一條直線 a 同時包含其二者。這記作 AB=aBA=a。 除了「a 包含 AB」,也可以用其他方式表述,例如:「Aa 上的點」「a 穿過了 AB」「a 連接了 AB」。 若點 A 同時落於兩條直線 ab 上,也可以說「直線 ab 有公共點 A」。
  2. 給定任意兩點 AB,最多只存在一條直線同時包含其二者。這也是說,若對於相異兩點 BC,同時有 AB=a 與 AC=a,那麼有 BC=a
  3. 一條直線上至少存在兩個點;又,至少存在不共線的三個點。
  4. 對於任意不共線三點 ABC,存在一同時包含其三者的平面 α。這記作 ABC=α。 亦可說是「ABC 落於 α 上」「ABCα 上的點」。
  5. 對於任意不共線三點 ABC,最多只存在一個平面同時包含其三者。
  6. 若在直線 a 上的兩點 AB 同時落於平面 α 上,那麼 a 上的任意點均落於 α 上。又說「直線 a 落於平面 α 上」。
  7. 若平面 αβ 均包含點 A,那麼它們至少共同包含另一點 B
  8. 至少存在不共面的四個點。

二、順序

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  1. 對於互異三點 ABC,若 B 夾在 AC 間,則 B 亦夾在 CA 間,且存在一條直線同時包含 ABC
  2. 對於互異兩點 AC,至少存在一點 B 落於直線 AC 上,使得 C 夾在 AB 之間。
  3. 直線上的任意三點最多只能有一個夾在其餘兩者之間。
  4. 給定三點 ABC 與平面 ABC 上不穿過三點中任意一個的直線 α,若 α 穿過線段 AB,則其必然同時穿過線段 ACBC 其中之一。(Pasch 公理​(英語

三、等同

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  1. 若點 AB 在直線 a 上且點 A' 在直線 a' 上(可與 a 相同),總可以在 a' 上關於 A' 的任意一側找到點 B',使得線段 ABA'B' 等同。這記作 ABA'B' 每條線段均與其自身等同,也就是說 ABAB。(自反性) 此公理就是在說,給定任意線段,可以將其「擺」在任意直線上的任意點的任意一側。
  2. 若線段 AB 同時與線段 A'B'A''B'' 等同,那麼 A'B' 亦等同於 A''B''。(傳遞性
  3. ABBC 為同一直線上僅共點於 B 的兩條線段,以及 A'B'B'C' 為另一直線(可與前同)上僅共點於 B' 的兩條線段;若 ABA'B'BCB'C'ou,則 ACA'C'
  4. 令 ∠(h,k) 為一角。給定一端點 O' 的射線 h' 以及其一側的半平面 α'α' 上存在且僅存在一條射線 k' 使得 ∠(h,k) 或 ∠(k,h) 與 ∠(h',k') 等同。這記作 ∠(h,k) ≅ ∠(h',k')。
  5. 若角 ∠(h,k) 等同於角 ∠(h',k'),且 ∠(h',k') 等同於角 ∠(h'',k''),那麼 ∠(h,k) 等同於 ∠(h'',k'')。(傳遞性)
  6. 若在三角形 ABCA'B'C' 中有 ABA'B'ACA'C'、∠BAC ≅ ∠B'A'C',那麼可以得到 ∠ABC ≅ ∠A'B'C'(替換字母即可知 ∠ACB ≅ ∠A'C'B' 亦成立)。

四、平行

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  1. 對於直線 a 與其外一點 A,其二者所確定的平面內至多有一條直線經過 A 而不與 a 相交。(歐幾里得公理

五、連續

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  1. ABCD 為任意兩條線段,總存在一數 n,使得從 A 出發沿射線 AB 連續構造的 n 條與 CD 等同的線段會經過 B。(阿基米德公理
  2. 欲從既有直線上的點構造新的直線,使得其仍然滿足原先元素之間的關係且符合公理一到三以及四-1,這樣的嘗試是不可能的。(直線完備性公理)

參考文獻

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