海涅-康托爾定理

海涅-康托爾定理，以愛德華·海涅和喬治·康托爾命名，說明如果M是一個緊度量空間，N是一個度量空間，則每一個連續函數

f : M → N,

都是一致連續的。

特別地，如果f : [a,b] → R是一個連續函數，則它是一致連續的。

證明 1

假設f在緊度量空間M上連續，但不一致連續，則以下命題

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0$，使得對於所有M內的x和y，都有$d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon$

的否定是：

$\exists \varepsilon _{0}>0$，使得$\forall \delta >0,\ \exists x,y\in M$，使得$\ d(x,y)<\delta$，且$\rho (f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}$。

其中d和$\rho$分別是度量空間M和N上的距離函數。

選擇兩個序列x_n和y_n，使得：

$d(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}$，且$\rho (f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}$ (*)

由於度量空間是緊緻的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，序列x_n存在一個收斂的子序列$x_{n_{k}}$，而$d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\to 0$，故$x_{n_{k}}$和$y_{n_{k}}$收斂於相同的點。又因為f是連續的，所以$f(x_{n_{k}})$和$f(y_{n_{k}})$收斂於相同的點，與(*)式矛盾。

證明 2

設 f 是從一個緊度量空間 (M,d_M) 到一個度量空間 (N,d_N) 的連續函數，欲證明 f 是一致連續的。

設給定了 $\varepsilon >0$, 於是對 $M$ 中的每一個點 $a$ 都存在一個與 $a$ 有關的 $\delta$, 使得

$d_{N}(f(x),f(a))<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}(a;\delta ){\text{. }}$

考慮由半徑為 $\delta /2$ 的球 $B_{M}(a;\delta /2)$ 構成的集族, 這族球覆蓋 $M$, 而且因為 $M$ 是緊的, 所以這些球中有有限個也覆蓋 $M$, 比方說

$M=\bigcup _{k=1}^{m}B_{M}\left(a_{k};{\frac {r_{k}}{2}}\right)\qquad {\text{(*)}}$

在任何一個兩倍半徑的球 $B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)$ 中, 我們有

$d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right){\text{. }}$

設 $\delta =\min(r_{1}/2,\cdots ,r_{m}/2)$, 欲證明這個 $\delta$ 滿足一致連續性定義中的要求.

對 $M$ 中的兩個點 $x$ 和 $y$ 滿足條件 $d_{M}(x,y)<\delta$, 由 ${\text{(*)}}$, 有某個球 $B_{M}\left(a_{k};r_{k}/2\right)$ 包含 $x$, 所以

$d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

由三角不等式可得

$d_{M}\left(y,a_{k}\right)\leqslant d_{M}(y,x)+d_{M}\left(x,a_{k}\right)<\delta +{\frac {r_{k}}{2}}\leqslant {\frac {r_{k}}{2}}+{\frac {r_{k}}{2}}=r_{k}.$

因而, $y\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)$, 所以也有 $d_{N}\left(f(y),f\left(a_{k}\right)\right)<\varepsilon /2$. 再次使用三角不等式就可以發現

$d_{N}(f(x),f(y))\leqslant d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)+d_{N}\left(f\left(a_{k}\right),f(y)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon {\text{.}}$

外部連結

• Heine–Cantor theorem. PlanetMath. 
• Proof of Heine–Cantor theorem. PlanetMath.