阿諾索夫微分同胚

在數學中,尤其是動力系統幾何拓撲中,流形M上的阿諾索夫映射(Anosov map)是M到自身的一種映射。阿諾索夫系統是A公理系統的特例。

阿諾索夫微分同胚(Anosov diffeomorphism)由德米特里·維克托羅維奇·阿諾索夫引入,他證明了這種微分同胚的行為在某種意義上是普遍的。

概述

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有三個相互聯繫但又有區別的定義:

  • 若M上的可微映射f在切叢上有雙曲結構,則稱f是一個阿諾索夫映射。例子有伯努利映射,以及阿諾爾德貓映射
  • 若這個映射還是一個微分同胚,則稱為阿諾索夫微分同胚
  • 若流形上的一個把切叢分成三個不變子叢,其中一個子叢呈指數衰減,一個指數增大,第三個不增大也不減小,則這個流稱為阿諾索夫流

阿諾索夫證明了阿諾索夫微分同胚是結構穩定的,並且組成了全體映射(流)的開子集( 拓撲)。

並非每個流形上都可以有阿諾索夫微分同胚;例如,球面上就沒有這樣的微分同胚。容許有阿諾索夫微分同胚的最簡單的緊流形是環面:上面有所謂的線性阿諾索夫微分同胚,這是沒有模1特徵值的同構。可以證明環面上其他的阿諾索夫微分同胚都與這種同胚拓撲共軛

對容許有阿諾索夫微分同胚的流形進行分類是非常困難的問題,截至2012年仍然沒有解決。

另外,也不清楚是否每個 且保持體積的阿諾索夫微分同胚都是遍歷的。阿諾索夫證明了把 換成 的條件下是成立的。

黎曼曲面(的切叢)上的阿諾索夫流

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負曲率黎曼曲面的切叢上的阿諾索夫流。這個流可以理解為雙曲幾何的龐加萊半平面模型的切叢上的流。負曲率黎曼曲面可以用福克斯模型來定義,即上半平面與福克斯群的商。設 為上半平面, 為福克斯群, 為負曲率黎曼曲面, 為流形M上的單位向量的切叢,  的單位向量的切叢。注意曲面上單位向量的叢是復直線叢主叢

李向量場

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注意 同構於李群 。這個群是上半平面的保向等距同構組成的群。 李代數 ,由以下矩陣表示

 

 

指數映射

 

定義了流形 上的右不變流,而 與此類似。定義 ,這些流定義了P和Q上的向量場。

阿諾索夫流

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 是P和Q上的測地流。根據定義李向量場在群元素的作用下是左不變的,可以得到這些場在 下是左不變的。換句話說,空間  分成了三個一維空間,或子叢,每一個都在測地流作用下不變。最後注意到其中一個子叢的向量場呈指數擴大,另一個不變,第三個呈指數縮小。

精確地說,切叢 可以寫成直和

 

這些空間在測地流的作用下不變;即,在群元素 的作用下不變。

要比較不同點q處 的向量的長度,需要有度量。 上的任何內積都可擴張成P上的左不變黎曼度量,進而得到Q上的黎曼度量。向量 的長度在 的作用下指數增大。向量 的長度在 的作用下指數衰減。 中的向量不變。測地流是不變的

 

但另外兩個分別是衰減和增大的:

 

 

其中 中的切向量由曲線  處的導數給出。

阿諾索夫流的幾何解釋

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當作用在上半平面的點 時, 對應了上半平面的一條過點 的測地線。這個作用就是 在上半平面的標準莫比烏斯變換,所以

 

一般的測地線

 

式中 是實數,且 。曲線  稱為極限圓。極限圓對應於極限球面的法向量在上半平面的運動。

另見

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參考資料

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  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
  • This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
  • Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.