風險決策

風險決策在決策論範疇內指決策者知道環境狀態出現的概率的決策。這些概率可能客觀可知（如樂透、輪盤賭）或依據主觀估計（例如基於歷史數據）。

一般概念

風險決策 也就是通常所說的 不確定條件下的決策. 當人們雖然知道有哪些可能的環境狀態,但卻並不知道具體每種環境狀態的概率時，同時把環境的進入概率看作風險, 即存在 未知條件下的決策,

風險決策可以通過一個矩陣來表示決策問題: 決策者可以選擇採取不同的行動 $a_{i}$, 每個行動和可能出現的不同的狀況 $s_{j}$ 相對應產生不同的結果 $e_{ij}$ . 出現不同狀況的概率 $w_{j}$ 為已知, 那麼則有: $0\leq w_{j}\leq 1$ 及 $\sum _{j}w_{j}=1$ 成立.

• 例子: 一年內投資100 元. 有如下選擇: 一支股票($a_{1}$) 或者零利率的儲蓄($a_{2}$). 可能出現的狀況是: 股票上漲($s_{1}$), 股票下跌 ($s_{2}$) 或者股票價格無變化 ($s_{3}$).

例如結果矩陣如下所示:

	$s_{1}$	$s_{2}$	$s_{3}$
$a_{1}$	120	80	100
$a_{2}$	100	100	100

決策者設股票上漲的概率為 $w_{1}$，股票下跌的概率為 $w_{2}$ 以及股票保持不變的概率為 $w_{3}$.

決策原則

在風險決策時可以採用以下幾種原則:

貝葉斯原則

貝葉斯原則 也被稱作μ-原則. 決策者只根據期望值做出決策.

$\max _{i}:\varphi {}_{ai}=E(e_{i})=\mu {}_{e}=\sum _{j}w{}_{j}\cdot e_{ij}$

因為只有每個選項的期望值 $a_{i}$ 被評估, 所以決策者的風險偏好是中性的, 例如他對參加有50%機會贏1元錢和50%機會輸1元錢的遊戲的態度是中性的. 在前面例子裏決策者為中性，當: $e_{11}$*$w_{1}$ + $e_{12}$*$w_{2}$ + $e_{13}$*$w_{3}$ = 100 (一個和概率$w_{j}$無關的保險的"支付"), 也可以是: 120*$w_{1}$ + 80*$w_{2}$ + 100*$w_{3}$. 無差別也可以表現為等概率分佈, 當存在: $w_{1}$ = $w_{2}$ = $w_{3}$ = ${\frac {1}{3}}$.

期望值的問題

聖彼得堡悖論的例子顯示了 , 僅考慮期望值並不能正確反映人們在真實情況下做出的決策行為:

• 一個(理想的)硬幣(正面和反面都有50%概率) 被拋出.
• 參加者得到以下支付:
  • 2 元, 第一次就拋出正面
  • 4 元, 第二次才拋出正面
  • ...
  • $2^{n}$ 元, 第 n-次 才拋出正面
• 參加者將需要支付一個公平的價格, 也就是遊戲的期望值.

一個決策者如果只根據期望值做出決策, 將會決定為參加遊戲支付公平的價格, 也就是期望值 (他對於參加與不參加應該是恰好中性的):

期望值計算如下:

• 第一次就拋出正面的概率為 ${1 \over 2}$, 得到 2元.
• 第二次才拋出正面的概率為 ${1 \over 4}$, 得到 4元.
• ...
• 第n次才拋出正面的概率為${\frac {1}{2^{n}}}$, 得到 $2^{n}$元.

那麼 E(X) = ${1 \over 2}*2+{1 \over 4}*4+...+{\frac {1}{2^{n}}}*2^{n}$ + ... = 1 + 1 + ... + 1 + ... 也就是無窮大.

但是，事實上沒有人肯為這個遊戲支付無窮多的錢.

μ-σ-原則

在 μ-σ-原則 里，決策者既考慮風險的偏好又考慮標準差. 風險中性的決策者對應於貝葉斯原則, 一個選項$a_{i}$對於風險迴避型(厭惡風險)決策者的吸引力隨着它的標準差的遞增而遞減， 而對於風險偏愛型的決策者則正好相反.

$\max _{i}:\varphi _{ai}=\Phi (\mu _{i},\sigma _{i})$

一種可能μ-σ-原則的形式的例子:

$\Phi (\mu _{i},\sigma _{i})=\mu _{i}-\alpha \cdot \sigma _{i}$

當α < 0 時: 決策者為風險偏愛型, 一個σ更高的選項，將比一個有着相同期望值μ但較低σ的選項優先. 當 α > 0 時: 決策者為風險迴避型, 一個σ較低的選項，將比一個有着相同期望值μ但較高σ的選項優先. 當α = 0 則等價於貝葉斯原則, 決策者為風險中性, 標準差σ將不會影響決策.

μ-σ-原則應用的前提是未來利潤呈正態分佈或者決策者有一個二次的效用函數.

伯努利原則

在應用 伯努利原則時，結果矩陣 $e_{ij}$ 必須先通過一個風險效用函數轉化為效用值. 獨立的風險效用函數$u(e_{ij})$反映了一個決策者的風險偏好. 一個風險迴避型的決策者的風險效用函數, 是一個凸函數, 而一個凹函數 則表示決策者是風險偏愛型. 但是一個風險效用函數既存在凸區間也存在凹區間也是可能的. 例如在實踐中可以觀察到, 人們既買彩票(風險偏愛), 又買 保險(風險迴避).

風險效用函數值被最大化.

$\max _{i}:\varphi _{ai}=\sum _{j}w_{j}\cdot u(e_{ij})$

參見

• 確定性決策