2φ1是高斯超幾何函數2F12F1延伸而來(hypergeometric analogue)[1],最初由德國數學家海因里希·愛德華·海涅(Heinrich Eduard Heine)在19世紀提出。

2φ1也可以用級數定義,可用差分方程微分方程q-模擬)描述,可用「積分」表達。

級數定義

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假設

a 是自然數
{a} := (1-qa) / (1-q)
{a}! := {a} {a-1} ......{3}{2}{1}

定義[2]

2φ1 (qa , qb; qc ; q, z)
:=Σn=0j=0n-1{a+j}{b+j} / {c+j}{1+j})zn

差分方程

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假設運算子[3]

∂= z 2d/z
{∂+Y}K(a) := [(1-qqx) / (1-p) ] f(c) = ( a(z) - qt f(qz) ) / (1-q)

這樣 2φ1 (qa , qb; qc ; q, z) 符合二次差分方程(高斯超幾何方程的推廣):

(z{∂+y}{∂+x} - {∂}{∂+d-1})2φ1=0

Jackson積分表示

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{(1-t)-a} := ∑n=0 {a}{a+1} ...{a+n-1} zn / n! [4]
Γq是q-F函數[5]
∫f(t) dqt 是f(t)的Jackson積分英語Jackson integral [6]

這樣

2φ1 (qa , qb; qc ; q, z) = Γq(c) /Fq(b)Γq(c-b) .∫[ tb-1{(1-tz)-a} / {(1-t)b-c} ] . dqt / (1-t)

參考來源

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  1. ^ THE SYMMETRIES OF THE 2φ1 (PDF). [2016-11-20]. (原始內容存檔 (PDF)於2018-10-04). 
  2. ^ p.164, EFK
  3. ^ p.165, EFK
  4. ^ EFK p.161
  5. ^ EFK p.163
  6. ^ EFKp.163

參考書目

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  • "EFK": Pavel I. Etingof / Igor B. Frenkel / Alexander A. Kirillov (1998) : Lectures on Representation Theory and Knizhnik-Zamolodchikov Equations , ISBN 0-8218-0496-0
  • G. Gasper / M. Rahman (1990) : Basic hypergeometric series, Cambridge University Press