信息幾何
引言 編輯
從歷史上看，信息幾何可追溯到卡利安普迪·拉達克里希納·拉奧的工作，他首先將費希爾矩陣視為黎曼度量。[2][3]現代理論主要歸功於甘利俊一，他的工作對該領域產生了重大影響。[4]
經典的信息幾何將有參概率模型視作黎曼流形。對於這類模型，可自然選擇出黎曼度量，即費希爾信息度量。在概率模型為指數族時，有可能用黑塞度量（即凸函數的勢給出的黎曼度量）導出統計流形，這時流形會自然繼承兩個平面仿射聯絡，以及正規布雷格曼散度。歷史上，許多工作都致力於研究這些例子的相關幾何。在現代背景下，信息幾何適用於更廣泛的背景，包括非指數族、非參數統計，甚至是不從已知概率模型導出的抽象統計流形。這些結果結合了信息論、仿射微分幾何、凸分析等眾多領域的技術。
該領域的標準參考書是甘利俊一與長岡博的《信息幾何方法》[5]及Nihat Ay等人的最新著作。[6]Frank Nielsen在調查報告中做了較溫和的介紹。[7]2018年，《信息幾何學》期刊正式創立，專門討論該領域。
應用 編輯
作為一個跨學科領域，信息幾何已被廣泛應用於各種領域，主要應用於統計分析、控制理論、神經網絡、量子力學、信息論等領域。
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另見 編輯
參考文獻 編輯
- ^ Nielsen, Frank. The Many Faces of Information Geometry (PDF). Notices of the AMS (American Mathematical Society). 2022, 69 (1): 36-45 [2023-11-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2023-11-09）.
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- ^ van Handel, Ramon; Mabuchi, Hideo. Quantum projection filter for a highly nonlinear model in cavity QED. Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2005, 7 (10): S226–S236. Bibcode:2005JOptB...7S.226V. S2CID 15292186. arXiv:quant-ph/0503222 . doi:10.1088/1464-4266/7/10/005.
- ^ Amari, Shun'ichi. Differential-Geometrical Methods in Statistics. Lecture Notes in Statistics. Berlin: Springer-Verlag. 1985. ISBN 0-387-96056-2.
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- ^ Marriott, Paul; Salmon, Mark (編). Applications of Differential Geometry to Econometrics. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0-521-65116-6.
外部連結 編輯
- [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Information Geometry journal by Springer
- Information Geometry （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） overview by Cosma Rohilla Shalizi, July 2010
- Information Geometry （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） notes by John Baez, November 2012
- Information geometry for neural networks(pdf ) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, by Daniel Wagenaar