多項式矩陣

提示：此條目頁的主題不是矩陣多項式。

多項式矩陣，也稱為λ－矩陣、矩陣係數多項式（不是矩陣多項式），是數學中矩陣論里的概念，指係數是多項式的方塊矩陣。使用「λ－矩陣」的名稱時，說明係數多項式以λ為不定元。

嚴格定義

給定自然數n和係數環$\mathbf {R}$，一個n階多項式矩陣A為如下形式：

$A(\lambda )=\left[a_{i,j}(\lambda )\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n},\quad \forall 1\leqslant i,j\leqslant n,\;\;a_{i,j}(\lambda )=\sum _{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda ^{k}\in \mathbf {R} \left[\lambda \right]$，

其中$d_{i,j}$是每個多項式$a_{i,j}(\lambda )$的次數。如果設其中最大的為$d$：

$d=\max _{1\leqslant i,j\leqslant n}\{d_{i,j}\}$

那麼多項式矩陣A也可以表達為：

$A=\sum _{k=0}^{d}\lambda ^{k}\left[a_{i,j,k}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}.$

其中約定當$k>d_{i,j}$時，$a_{i,j,k}=0$.

由於多項式矩陣也能被表達為以（數值）矩陣為係數的多項式，所以也被稱為矩陣係數多項式。如果最高次係數矩陣$A(d)$的行列式不為零，則稱多項式矩陣A為為正則多項式矩陣（regular polynomial matrix）。所有n階多項式矩陣的集合記為${\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} \left[\lambda \right])$或${\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} )\left[\lambda \right]$。前者表示所有以多項式為係數的n階方塊矩陣的集合，後者表示所有n階方塊矩陣為係數的多項式的集合。可以驗證兩者是同構的。

例子

所有的數值矩陣都是多項式矩陣，因為可以將每個元素看成一個零多項式。設係數環為實數域，以下是一個3階多項式矩陣：

$P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.$

特徵矩陣是多項式矩陣的一個例子。設有n階數值矩陣A，則特徵矩陣實際上是一次多項式矩陣：$P_{A}(\lambda )=\lambda \mathbf {I} _{n}-A$。而特徵矩陣的行列式$\det \left(\lambda \mathbf {I} _{n}-A\right)$就是數值矩陣A的特徵多項式。

性質

由於多項式代數和矩陣代數的結構特性，環$\mathbf {R}$上的所有n階多項式矩陣也構成一個代數。兩個n階多項式矩陣可以互相加減、相乘，並且滿足加法交換律和乘法分配律（不滿足乘法交換律）。用與數值矩陣相同的方式可以定義多項式矩陣的初等變換、相似關係、等價關係（也稱為相抵）、秩以及行列式。

如果係數環是域，那麼可以證明，所有的多項式矩陣都可以對角化。任何一個秩為r ≤ n的多項式矩陣，都可以相抵於一個對角多項式矩陣：

$a\operatorname {diag} (d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda ),0,\cdots ,0)$

其中的每個非零的對角元素$d_{i}(\lambda )$都是首一多項式，並且整除下一個對角元素$d_{i+1}(\lambda )$。這種形式稱為多項式矩陣的史密斯標準型（Smith normal form），所有的$d_{i}(\lambda )$被稱為原多項式矩陣的不變因子。

如果將n階多項式矩陣看成以n階方塊矩陣為係數的多項式，可以通過將其中的不定元λ替換為一個n階方塊數值矩陣B，而得到一個n階數值矩陣。這種操作稱為多項式矩陣的矩陣替換。由於矩陣乘法不滿足交換律，所以替換分為左替換和右替換：

左替換：將$\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}$ 替換為 $\sum _{k=0}^{d}B^{k}\cdot A(k),$ 也記作$P_{l}^{A}(B),$

右替換：將$\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}$ 替換為 $\sum _{k=0}^{d}A(k)\cdot B^{k},$ 也記作$P_{r}^{A}(B).$

如果係數環是域，那麼多項式矩陣之間可以做帶餘除法：如果$A(\lambda )$和$B(\lambda )$都是多項式矩陣，其中$B(\lambda )\neq 0$，那麼唯一存在多項式矩陣$Q(\lambda )$和$R(\lambda )$，滿足

1. $A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),$
2. $R(\lambda )$作為多項式的次數嚴格小於$B(\lambda )$，或者為零。

參見

• 特徵多項式
• 不變因子
• 初等因子