解析幾何中, 一條直線與一個平面的交點可能是空集、一個或一條直線。在計算機圖形學、運動規劃和碰撞檢測中,經常需要分析相交類型,以及計算出點坐標或線的方程。

線面交點的三種情況:
1. 沒有交點;
2. 有且只有一個交點;
3. 有無數個交點。

代數形式

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空間中一個平面可以表示為點   的集合

 

其中   是該平面的法線 是平面上任意一點。( 表示向量   數量積

而直線可表示為

 

其中  是該直線的方向向量, 是直線上任意一點, 實數範圍內的純量。將直線方程代入平面方程得

 

展開得

 

解得  

 

 ,則直線與平面平行。此時,如果( ,則該直線在平面內,即直線上所有的點都是交點。否則,直線與平面沒有交點。

 ,則直線與平面有且只有一個交點。解得  ,則交點的坐標為

 .

參數形式

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直線與平面的交點

空間中一條直線可以用一個點和一個給定的方向來描述。則一條直線可以表示為如下點的集合

 

其中    是直線上兩個不同的點。

相似地,一個平面可以表示為如下點的集合

 

其中    是平面上不共線的三個點。

直線和平面的交點可以表示為將直線上的點代入平面方程內,則參數方程如下:

 

 

矩陣表示為

 

可得點的坐標為

 

若直線與平面平行或在平面內,那麼向量    線性獨立的,且矩陣為奇異矩陣。

若滿足  ,則交點在直線上    之間。

若滿足

 

則交點位於平面上    所構成的三角形中。

該問題可用矩陣的形式表示解答:

 

應用

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計算機圖形學中的光線追蹤算法中,一個面可以被表示為幾個平面的集合。一個面的圖像可以用光線與每個面的交點表達。在基於視覺的三維重建中(計算機視覺的一個子場),深度通常是由「三角測量法」測算的。

外部連結

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