对数极座标转换

数极座标转换是一个将卡氏座标上的点转换到对数极座标上的转换。这项技术的启发是来自于人类视网膜的特性，这项"仿生"的概念其实跟人类的视觉构造和资料压缩习习相关。跟一般卡氏座标的图片相比之下，对数极座标转换在虚拟视觉系统下能够有比较高的取样率且不影响其所能看到的区域。在人类的视觉系统内，发现到刺激视觉系统最外层的东西可以被视网膜上影像的对数极座标逼近。

定义

假设在卡氏座标中 $x$ 代表横轴的座标, $y$ 代表纵轴的座标。那么，对数极座标转换即是将两个数值对应到对数极座标的两个值

$\rho$ , $\theta$ 。

$\rho$ 和 $\theta$ 的定义分别为

$\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\theta =\arctan({\frac {y}{x}})$

也可以将卡氏座标的值用复数平面以及极座标系统 $(\eta ,\phi )$ 来表示如下

$z=x+jy=\eta e^{j\phi }$

那么，在经过对数极座标转换之后，结果为

$w=\ln {z}=\rho +j\theta$

且

$\rho =Real(w)=\ln(\eta )$

$\theta =Im(w)=\phi +2k\pi$ , 限制 $\phi$ 的范围为 $[0,2\pi )$

特性

1. 这项转换是一种共形映射，其特性是保持在转换后保持两条曲线相交的角度。理论上，这项特性好处是在卡氏座标系上的影像处理运算将直接用到对数极座标上。
2. 在三个互相冲突的要件中有好的权衡。这三个要件分别为景宽(所能看到的东西),高分辨率,资料量。这样一来，这会加速即时影像的处理速度。
3. 从哺乳类动物上得到的启发在理论上具有一定的可行性，只要能够做的跟哺乳类的视觉系统越像，那就能够有更好的视觉效果。
4. 在旋转与放大的"不变"特性。当原始影像在卡氏座标上经过放大或式旋转之后，那么在经过对数极座标转换后，其效果相当于 位移，因此，这样的特性保持了图形的形状。这样的几何特性对于选转放大等影像识别具有相当大的帮助

说明:上面三张图是卡氏座标下的图，下面三张图是分别经过转换后的图形。中间的图形经过了旋转，右边的图经过放大，可以从下面两张图看到，其效果只是平移而已。

讨论

前面的两种性质，共行映射以及好的权衡在很多其他模型都有此类特性。不过最后两种特性，生物的启发性以及旋转后放的不变性式此变换比较特有的特色。

问题

由于使用对数的特性，在中心点将会有奇异点(singularity)的效应。

参考来源

1. A review of log-polar imaging for visual perception in robotics by V. Javier Traver a,b,∗ , Alexandre Bernardinoc
2. An Introduction to the Log-Polar Mapping by Helder Araujo , Jorge M. Dias
3. http://users.isr.ist.utl.pt/~alex/Projects/TemplateTracking/logpolar.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）