尤尔卡特-里歇特定理

尤尔卡特-里歇特定理(Jurkat–Richert theorem)是筛法上的数学定理,这定理是关于歌德巴赫猜想陈氏定理的关键部分。[1]:272这定理在1965年由沃尔夫冈·B·尤尔卡特(Wolfgang B. Jurkat)及汉斯-埃贡·里歇特英语Hans-Egon Richert所证明。[2]

定理陈述

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以下公式表示取自哈罗德·G·戴蒙德(Harold G Diamond)与哈伯斯塔姆英语Heini Halberstam[3]:81其他的公式表示可见于尤尔卡特与里歇特、[2]:230哈伯斯塔姆与里歇特、[4]:231以及梅尔文·B·内桑森英语Melvyn B. Nathanson等人的结果。[1]:257

假定 是一个整数的有限序列,而 是质数集合,设  中可被 除尽的元素构成的集合,并设  中小于 的质数的乘积,然后再设 为一个使得 大致与 中可被 除尽的元素成比例的积性函数。然后  中元素的大致个数,则其余项可表示如下:

 

  中与 彼此互质的元素的个数,则有下式:

 

再设  彼此相异的质因数的数量,并设  为满足特定微分差分方程的方程式。(可参见戴蒙德与哈伯斯塔姆的书[3]:67–68以知其定义与性质)现在假定筛选密度的维度为一,也就是在存在常数 ,使得 的情况下,可得以下关系式:

 

(戴蒙德与哈伯斯塔姆的书[3]将此定理延伸到维度大于一的状况)那么尤尔卡特—里歇特定理就表示说对于任意满足 的数  而言,有以下关系式:

 

 

注解

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  1. ^ 1.0 1.1 Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer-Verlag. 1996 [2009-03-14]. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11003. 
  2. ^ 2.0 2.1 Jurkat, W. B.; Richert, H.-E. An improvement of Selberg's sieve method I (PDF). Acta Arithmetica. 1965, XI: 217–240 [2009-02-17]. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. (原始内容存档 (PDF)于2023-05-08). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099. 
  4. ^ Halberstam, Heini; Richert, H.-E. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730. Zbl 0298.10026.