帕斯卡定理圆锥曲线的内接六边形其三条对交点共线。它与布列安桑定理对偶,是帕普斯定理的推广。(当这个圆锥曲线退化成两条直线时,帕斯卡定理就会变成帕普斯定理)

该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但并未证明,是射影几何中的一个重要定理

证明

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如图,如果圆锥曲线是一圆,圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G,边BC、EF的延长线交于点H,边CD、FA的延长线交于点K。

 

延长AB、CD、EF,分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点,构成△LMN。

利用梅涅劳斯定理

直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点,则 …①

直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点,则 …②

直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点,则 …③

连BE,则 …④。同理 …⑤, …⑥。

将①②③④⑤⑥相乘,得 

∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上,∴H、G、K三点共线。

其余圆锥曲线

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任何非退化圆锥曲线皆可经由投影变换投影成圆,故帕斯卡定理于其他圆锥曲线亦成立。

参见

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