全機率定理

統計學定理

全機率定理(Law of total probability),假設{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一個機率空間的有限或者可數無限的分割(既 Bn為一完備事件組),且每個集合Bn是一個可測集合,則對任意事件A全機率公式

又因為

此處Pr(A | B)是B發生後A條件機率,所以全機率公式又可寫作:

全機率公式將對一複雜事件A的機率求解問題轉化為了在不同情況或不同原因 Bn下發生的簡單事件的機率的求和問題。

條件機率的期望值

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在離散情況下,上述公式等於下面這個公式。但後者在連續情況下仍然成立:

 

此處N是任意隨機變數

這個公式還可以表達為:

"A事前機率等於A事後機率的事前期望值

參見

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