分數小波變換

分數小波變換(Fractional wavelet transform,縮寫:FRWT)是傳統小波變換(Wavelet transform)的推廣。該變換的提出改進了了小波變換和分數傅立葉變換的局限性。分數小波變換繼承了傳統小波變換的多解析度特性,同時,類似於分數傅立葉變換,可以表示分數階域的信號特徵。

定義

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分數傅立葉變換(FRFT)[1]是傅立葉變換(FT)的推廣,它在光學、通信、信號和圖像處理方面是一個強有力的分析工具。[2]然而,由於分數傅立葉變換使用全局核函數,它只強調了存在某些成分,而沒有說明這些成分的時間定位。因此,對非平穩信號進行FRFT頻譜分析時需要在時間-FRFT域進行聯合分析。

對FRFT的一個修改時短時分數傅立葉變換(STFRFT)。[3][4]STFRFT的思想時使用具有時間局域性的窗函數將信號分段,然後對每一段進行FRFT頻譜分析。STFRFT可以在時間-FRFT域進行聯合分析,然而,由於窗函數的長度是預先固定的,STFRFT並不能在時間域和FRFT域均提供良好的解析度。換而言之,STFRFT的解析度受到不確定性原理的約束[5],即窄窗具有較好的時間解析度和較差的FRFT譜解析度;寬窗具有較好的FRFT譜解析度和較差的時間解析度。然而多數實際信號高頻成分持續時間較短,而低頻成分持續時間較長。

Mendlovic和David推廣了小波變換,提出了分數小波變換(FRWT)。[6]

FRWT被定義為FRFT和小波變換(WT)的級聯,即:

 

其中,變換的核函數 為:

 

其中  表示 的FRFT。然而,由於時間信號在變換中丟失,這並不是時間-FRFT聯合分布。

此外,Prasad和Mahato將信號和母小波的FRFT來表達信號的WT,並稱這種表達為FRWT。[7]即:

 

其中  表示  的傅立葉變換(參數縮放了 倍)。顯然,這種所謂的FRWT與普通WT是相同的。

最近, Shi等人通過引入與FRFT有關的分數卷積[8]提出了新的關於FRWT的定義。[9]任意平方可積函數 的FRFT定義為:

 

其中 是對母小波 的Chirp調製和連續仿射變換,即:

 

其中, 是尺度參數; 是位移參數。對應的逆FRWT變換為:

 

其中 是與選用的小波相關的常數,該常數決定了重建能否進行,即容許性條件(Admissibility condition):

 

其中 表示 的傅立葉變換。容許性條件表明 ,即 。因此,連續分數小波必須表現出震盪的性質,並在分數傅立葉域中體現出帶通濾波器的特性。從這點來看, 的FRWT變換可以用FRFT域來表示,即:

 

其中 表示對 的FRFT, 表示 的傅立葉變換(參數縮放了 倍)。當 時,FRWT退化為傳統的小波變換。文獻[9][10]對此類FRWT進行了深入的討論。

分數小波變換的多分辨分析(MRA)

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該文[11]概述了分數小波變換及其多分辨分析。

參考文獻

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  1. ^ H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky, and M. A. Kutay, The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing. Wiley, New York, 2000.
  2. ^ E. Sejdic, I. Djurovic, and L. Stankovic, "Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments," Signal Process., vol. 91, pp. 1351--1369, 2011.
  3. ^ L. Stankovic, T. Alieva, and M. J. Bastiaans, "Time-frequency signal analysis based on the windowed fractional Fourier transform,"Signal Process., vol. 83, pp. 2459--2468, 2003.
  4. ^ R. Tao, Y. Lei, and Y. Wang, "Short-time fractional Fourier transform and its applications," IEEE Trans. Signal Process., vol. 58, pp. 2568--2580, 2010.
  5. ^ J. Shi, X.-P. Liu, and N.-T. Zhang, "On uncertainty principle for signal concentrations with fractional Fourier transform," Signal Process., vol. 92, pp. 2830--2836, 2012.
  6. ^ D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia, and C. Ferreira, "Fractional wavelet transform," Appl. Opt., vol. 36, pp. 4801--4806, 1997.
  7. ^ A. Prasad and A. Mahato, "The fractional wavelet transform on spaces of type S," Integral Transform Spec. Funct., vol. 23, no. 4, pp. 237--249, 2012.
  8. ^ Shi, J.; Chi, Y.-G.; Zhang, N.-T. Multichannel sampling and reconstruction of bandlimited signals in fractional Fourier domain. IEEE Signal Process. Lett. 2010, 17 (11): 909–912. Bibcode:2010ISPL...17..909S. S2CID 17547603. doi:10.1109/lsp.2010.2071383. 
  9. ^ 9.0 9.1 Shi, J.; Zhang, N.-T.; Liu, X.-P. A novel fractional wavelet transform and its applications. Sci. China Inf. Sci. 2011, 55 (6): 1270–1279. doi:10.1007/s11432-011-4320-x . 
  10. ^ Wavelet Transforms and Their Applications. Wavelet Transforms and Their Applications. [2023-02-28]. doi:10.1007/978-0-8176-8418-1. (原始內容存檔於2023-02-28) (英語). 
  11. ^ Shi, J.; Liu, X.-P.; Zhang, N.-T. Multiresolution analysis and orthogonal wavelets associated with fractional wavelet transform. Signal, Image, Video Process. 2015, 9 (1): 211–220. S2CID 3807003. doi:10.1007/s11760-013-0498-2.