割圓術 (趙友欽)

趙友欽割圓術是元代數學家趙友欽在所著的《革象新書》卷五《乾象周髀》篇研究的割圓術。與劉徽從內接正六角形開始不同，趙氏割圓術從分割內接正方形開始。

趙友欽割圓術

趙友欽《革象新書》卷五《乾象周髀》篇割圓術書影

如圖，圓的半徑為r; 內接正方形的邊長為 $\ell$,由圓心到正方形一邊倒垂直距離為 d

$d={\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}$

$e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}$

d 的延長線與圓周相交點將圓周等分為正八邊形。

令正八邊形的邊長為$\ell _{2}$

$\ell _{2}={\sqrt {(\ell /2)^{2}+e^{2}}}$

$\ell _{2}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {\ell ^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-\ell ^{2}}})^{2}}}$

設$\ell _{3}$ 為分割圓成正16邊形之邊長，趙友欽正確地推斷$\ell _{3}$與$\ell _{2}$的迭代關係：

$\ell _{3}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{2})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{2})^{2}}})^{2}}}$

推而廣之：

$\ell _{n+1}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{n})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{n})^{2}}})^{2}}}$

令 r=1;

$\ell _{1}={\sqrt {(}}2)$

$\ell _{2}={\sqrt {2-{\sqrt {(}}2)}}$

$\ell _{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}$

$\ell _{4}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}$

$\ell _{5}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}}$

……

圓周率

趙友欽指出，分割越細，正多邊形的邊數愈多，正多邊形越接近圓周。

角數愈多而為方者不複方漸變為圓矣。故自一二次求之至十二次精密已極

他最後將千寸直徑的圓周分割為正16384邊形，從而獲得

三尺一寸四分一厘五毫九絲二忽然有奇

$\pi ={\frac {3141.592}{1000}}$

正多邊形	圓周率近似值
4	3.121445
8	3.136548
16	3.140331
32	3.141277
64	3.141513
128	3.141572
256	3.141587
512	3.141591
1024	3.141592
2048	3.141592
16384	3.141592+

密率

南朝祖沖之發現密率：

$\pi \approx {\frac {355}{113}}$

但這個密率比在以後數百年間，無人問津，直到趙友欽重新提及這個密率分數。

趙友欽在獲得

$\pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}$

後，他將 3141.592 乘以 113

以一百一十三乘之果得三百五十五尺，此為其法所以極精密也

$113*\pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}*113=355$

即：

$\pi \approx {\frac {355}{113}}$

參見

割圓術 (劉徽)