泊松代数

数学中，泊松代数（Poisson algebra）是具有一个满足莱布尼兹法则的李括号之结合代数；即括号也是导子。泊松代数自然出现于哈密顿力学，也是量子群研究的中心。携有一个泊松代数的流形也叫做泊松流形，辛流形与泊松-李群是其特列。此代数的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。

定义

一个泊松代数是域 K 上一个向量空间装备着两个双线性乘积，$\cdot$ 与 { , }，满足如下性质：

• 乘积 $\cdot$ 构成一个结合 K-代数；

• 乘积 { , }，叫做泊松括号，构成李代数，从而反对称并满足雅可比恒等式。

• 泊松括号是结合乘积 $\cdot$ 的导子，即对此代数中任何三个元素 x，y 与 z，都有 {x, y$\cdot$z} = {x, y}$\cdot$z + y$\cdot${x, z}。

最后一个性质通常保证了这个代数有其他给出表述，可见下面例子中所指出。

例子

泊松代数出现于多种不同场合。

辛流形

辛流形上实值光滑函数组成一个泊松代数。辛流形上每个实值函数 $H$ 在此流形上产生一个向量场 $X_{H}$，即哈密顿向量场。然后给定此辛流形上任何光滑函数 $F$ 与 $G$，它们的泊松括号 {,} 定义为

$\{F,G\}=dG(X_{F})\,.$

这个定义是一致的是因为此泊松括号是一个导子。等价地，可以将 {,} 定义为

$X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,$

这里 [,] 是李导数。当辛流形是带着标准辛结构的 $\mathbb {R} ^{2n}$，则泊松括号取如下熟知的形式

$\{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.$

可对泊松流形进行类似的考虑，它允许辛双向量在流形的某些位置消没。

李代数

李代数的张量代数具有泊松代数结构。泛包络代数条目中给出了非常明确的构造。

构造过程中，首先要建立李代数底层向量空间的张量代数。张量代数，简单来说就是向量空间所有张量积的不交并（直积 ⊕)）。这样就可证明，李括号可被一致地提升到整个张量代数：其服从积律，又遵循泊松括号的雅可比同一性，因此提升后的李括号就是泊松括号。这样，一对积{,}、⊗就构成了泊松代数。注意⊗不交换也不反交换，只服从结合律。

因此，可得这样的一般结论：任何李代数的张量代数都是泊松代数。通过模得泊松代数结构，就得到了泛包络代数。

结合代数

如果 A 是一个结合代数，则交换子 [x,y]≡xy−yx 使它成为一个泊松代数。

顶点算子代数

对一个顶点算子代数 $(V,Y,\omega ,1)$，空间 $V/C_{2}(V)$ 是一个泊松代数，其中 $\{a,b\}=a_{0}b$ 而 $a\cdot b=a_{-1}b$。对某些定点算子代数，这个泊松代数是有限维的。

相关条目

• 泊松超代数
• 格尔斯滕哈伯代数
• Moyal bracket

参考文献

• Y. Kosmann-Schwarzbach, Poisson algebra, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4