泊松代數

數學中，泊松代數（Poisson algebra）是具有一個滿足萊布尼茲法則的李括號之結合代數；即括號也是導子。泊松代數自然出現於哈密頓力學，也是量子群研究的中心。攜有一個泊松代數的流形也叫做泊松流形，辛流形與泊松-李群是其特列。此代數的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。

定義

一個泊松代數是域 K 上一個向量空間裝備著兩個雙線性乘積，$\cdot$ 與 { , }，滿足如下性質：

• 乘積 $\cdot$ 構成一個結合 K-代數；

• 乘積 { , }，叫做泊松括號，構成李代數，從而反對稱並滿足雅可比恆等式。

• 泊松括號是結合乘積 $\cdot$ 的導子，即對此代數中任何三個元素 x，y 與 z，都有 {x, y$\cdot$z} = {x, y}$\cdot$z + y$\cdot${x, z}。

最後一個性質通常保證了這個代數有其他給出表述，可見下面例子中所指出。

例子

泊松代數出現於多種不同場合。

辛流形

辛流形上實值光滑函數組成一個泊松代數。辛流形上每個實值函數 $H$ 在此流形上產生一個向量場 $X_{H}$，即哈密頓向量場。然後給定此辛流形上任何光滑函數 $F$ 與 $G$，它們的泊松括號 {,} 定義為

$\{F,G\}=dG(X_{F})\,.$

這個定義是一致的是因為此泊松括號是一個導子。等價地，可以將 {,} 定義為

$X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,$

這裡 [,] 是李導數。當辛流形是帶著標準辛結構的 $\mathbb {R} ^{2n}$，則泊松括號取如下熟知的形式

$\{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.$

可對泊松流形進行類似的考慮，它允許辛雙向量在流形的某些位置消沒。

李代數

李代數的張量代數具有泊松代數結構。泛包絡代數條目中給出了非常明確的構造。

構造過程中，首先要建立李代數底層向量空間的張量代數。張量代數，簡單來說就是向量空間所有張量積的不交並（直積 ⊕)）。這樣就可證明，李括號可被一致地提升到整個張量代數：其服從積律，又遵循泊松括號的雅可比同一性，因此提升後的李括號就是泊松括號。這樣，一對積{,}、⊗就構成了泊松代數。注意⊗不交換也不反交換，只服從結合律。

因此，可得這樣的一般結論：任何李代數的張量代數都是泊松代數。通過模得泊松代數結構，就得到了泛包絡代數。

結合代數

如果 A 是一個結合代數，則交換子 [x,y]≡xy−yx 使它成為一個泊松代數。

頂點算子代數

對一個頂點算子代數 $(V,Y,\omega ,1)$，空間 $V/C_{2}(V)$ 是一個泊松代數，其中 $\{a,b\}=a_{0}b$ 而 $a\cdot b=a_{-1}b$。對某些定點算子代數，這個泊松代數是有限維的。

相關條目

• 泊松超代數
• 格爾斯滕哈伯代數
• Moyal bracket

參考文獻

• Y. Kosmann-Schwarzbach, Poisson algebra, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4