中線定理

中線定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

中線定理编辑

對任意三角形 $\triangle ABC$ ，設 $I$ 是線段 ${\overline {BC}}$ 的中點， ${\overline {AI}}$ 為中線，則有如下關係：

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,$

證明编辑

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入 $I$ ：

|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}

得出

|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}

$I$ 是 $BC$ 的中點，因此 ${\overrightarrow {IB}}$ 和 ${\overrightarrow {IC}}$ 相反，可知式中兩個標積抵消。又因 ${\overline {IC}}={\overline {IB}}$ ，得出

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,

另一個證法编辑

這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：設 $H$ 是從 $A$ 到 $BC$ 的垂足，則 $\triangle BHA$ 和 $\triangle AHC$ 是直角三角形。用勾股定理可得

{\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,

{\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,

{\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,

所以

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,

把 $BH$ 和 $HC$ 用 $BI$ 和 $IH$ 表達出來（記得 $I$ 是 $BC$ 的中點，因此 $BI=IC$ ）。注意到雖然現在的情形假設 $H$ 在線段 $BI$ 上，但其他情形也可以用這個方法。

{\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,

{\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,

代入前式：

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,

$\triangle IHA$ 是直角三角形(H為 $\triangle ABC$ 於 ${\overline {BC}}$ 之垂足) ，因此

{\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,

代入前式得出

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,

中線的向量表達式编辑

設 $I$ 是線段 $BC$ 的中點，則有 ${\vec {AB}}+{\vec {AC}}=2{\vec {AI}}$

中線的另一條定理编辑

用標積表示 $AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$ ，其中 $H$ 是 $A$ 到線 $BC$ 的垂足。

從上得到中線的另一條定理 $\left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH$ 。

實際上

AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}

${\overrightarrow {AI}}$ 投影在 ${\overrightarrow {BC}}$ 上是 ${\overrightarrow {HI}}$ ，因而有 ${\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {HI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$ .