中線定理

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中線定理,又稱阿波羅尼奧斯定理,是歐氏幾何的定理,表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價平行四邊形恆等式

中線定理编辑

對任意三角形 ,設 是線段 的中點, 為中線,則有如下關係:

 

證明编辑

萊布尼茨標量函數約簡,可以容易導出這性質:只需要在兩個平方中引入 

 

得出

 

  的中點,因此  相反,可知式中兩個標積抵消。又因 ,得出

 

另一個證法编辑

這可能是阿波羅尼烏斯的證明方法,因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下: 設 是從  的垂足,則  是直角三角形。用勾股定理可得

 
 
 

所以

 

    表達出來(記得  的中點,因此 )。注意到雖然現在的情形假設 在線段 上,但其他情形也可以用這個方法。

 
 

代入前式:

 
 
 

現在 是直角三角形,因此

 

代入前式得出

 

中線的向量表達式编辑

 是線段 的中點,則有 

中線的另一條定理编辑

用標積表示 ,其中  到線 的垂足。

從上得到中線的另一條定理 

實際上

 

 投影在  上是 ,因而有 .

這兩個共線向量的標積可等於 或其負數,因此取絕對值。

參見编辑