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数学分析中,介值定理英语:intermediate value theorem,又稱中間值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:

如果連續函數通過兩點,它也必定通過區間內的任一點

直觀地比喻,這代表在區間上可以畫出一個連續曲線,而不讓筆離開紙面。如果這個連續函數是光滑曲線,其任二點間的光滑性可由均值定理來描述。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

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定理编辑

 
介值定理圖解

假設 是一個實數裡的闭区间,而 連續函數,那麼其像集 也是區間。它或者包含 (如果 ),或者包含 (如果 )。換言之:

  •  ,

  •  .

介值定理通常以下述等價的形式表述:假設 是連續函數,且實數 滿足  ,則存在 使得 

证明编辑

先证明第一种情况 ;第二种情况也类似。

  内所有 的集合,使得 。那么 是非空的,因为  的一个元素,且 是上有界的,其上界为 。于是,根据实数的完备性最小上界   一定存在。我们来证明 

  • 假设 。那么 ,因此存在 ,使得当 时,就有 ,因为 是连续函数。但是,这样一来,当 时,就有 (也就是说,对于 内的 ,都有 )。因此  的一个上界,与我们假设 是最小上界以及 矛盾。
  • 假设 。根据连续性,存在一个 ,使得当 时,就有 。那么对于 内的 ,都有 ,因此存在大于  ,使得 ,这与 的定义矛盾。

因此 

與實數完備性的關係编辑

此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數 滿足 ,但不存在滿足 的有理數 

零点定理(波尔查诺定理)编辑

零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:

设函数 在闭区间 上连续,且 ,则必存在 使 成立。由於零点定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]

现实世界中的意义编辑

介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度压强海拔二氧化碳浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对蹠点,在这两个点上该变量的值是相同的。

证明:f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设df(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见编辑

参考资料编辑

外部链接编辑