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全等三角形指兩個全等三角形,它們的三條及三個都應對等。全等三角形幾何全等之一。根據全等轉換,兩個全等三角形可以平移、旋轉、把軸對稱,或重疊等。

全等的數學符號為:


当使用该符号时,需保证符号两边的角、边一一对应。

定義编辑

當兩個三角形的對應,完全相等,便是正三角形。

 

性質编辑

 
三角形ABC與三角形DEF全等。

全等三角形有以下性質:

  • 它們的對應相等。
  • 它們的對應相等。

三角形ABC與三角形DEF是全等時(如右圖),關係公式為:

 

下列三對邊長為「對應邊」:

 

下列三對角為「對應角」:

 


同時,所有對應邊長及角度均相等:

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用途编辑

因為多邊形可由多個三角形組成,所以利用此方法,亦可驗證其它全等的多邊形

判定编辑

 
全等三角形的判定。

下列五種方法均可驗證全等三角形:

  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊;三邊):三邊長度相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊;兩邊一夾角):兩邊,且夾角相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角;兩角一夾邊):兩角,且夾邊相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊;兩角一對邊):兩角,且非夾邊相等。
  • RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊,又称HL(斜边、直角边);斜股性質):在一对直角三角形中,斜邊及另一條直角邊相等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形:

  • AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角):三角相等。
  • SSA(Side-Side-Angle,邊、邊、角):其中一角相等,且非夾角的兩邊相等。但當該角是直角鈍角時可驗證全等三角形,RHS便是該角是直角時的情形,其實沒有這個

以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形,即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。

SSS编辑

 
這兩個三角形可以SSS來驗證全等。

如右圖

    原因
邊(一)     共用邊
邊(二)     已知
邊(三)     已知

  此时三边已知,三个角可分别由余弦定理计算,由于   在 0°到 180°之间是单调的所以 可保证解出唯一值。

SAS编辑

 
這兩個三角形可以用SAS驗證全等。

如右圖

    原因
邊(一)     共用邊
    已知
邊(二)     已知

  此时两边夹一角已知,首先用余弦定理计算第三边,接下来与 SSS 的情况相同。

ASA编辑

 
這兩個三角形可以用ASA來驗證全等。

如右圖

    原因
角(一)     共用角
邊(一)     已知
角(二)     已知

  此时两角夹一边已知,通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

AAS编辑

 
這兩個三角形可以用AAS來驗證全等。

如右圖

    原因
角(一)     對頂角
角(二)     已知
    已知

  仍然是做减法得出第三角,接下来与 ASA 相同。

RHS编辑

 
這兩個三角形可以RHS來驗證全等。

為直角三角形中專用的三角型全等性質 ,即為直角三角形中的SSA ,也稱為斜股性質 ,如右圖

    原因
直角     已知
斜邊     已知
    已知

  勾股定理或是直接連兩边的頂端解出剩下一边,即变成 SSS或SAS。

不能驗證全等三角形的条件编辑

AAA编辑

 
AAA不能驗證三角形全等。

AAA(角、角、角),指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形,但AAA能判定相似三角形。在幾何學上,當兩條疊在一起時,便會形一個和一個。而且,若該無限地廷長,或無限地放大,該角度都不會改變。同理,在左圖中,該兩個三角形相似三角形,這兩個三角形的關係是放大縮小,因此角度不會改變。

這樣,便能得知若邊無限地根據比例加長,角度都保持不變。因此,AAA並不能判定全等三角形

从正弦定理的角度看,  这个比例的比值可以任意缩放,因此无法唯一确定三边长度。

SSA编辑

 
SSA不能驗證三角形全等。

SSA(邊、邊、角),也稱為ASS ,指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中,分別有三角形ABC及三角形DEF,並提供了以下資訊:

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那即是SSA。假如在右圖繪畫一個圓形,中心點為點E,半徑為 。透過這個圓形便會發現,  沒有改變下,會出現另一個與 一樣長度的直線(即圖中的 )。這樣便能證明SSA並不能驗證全等三角形,(除非已知 。當是直角三角形時應稱為RHS)。

雖然如此,當 ≥ 90°時, 。又   ,故可驗證全等三角形。

再次使用正弦定理,  其中已知    ,可解出  ,但   在 0°到 180°上先升后降导致   有两解,即   可能是钝角或锐角(或退化为只有一解是直角的特殊情况,此处略去),分别对应图中的   。然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时,可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定  ,此时做减法得出   后即可用余弦定理解得最后一边  

參見编辑

外部連結编辑