刚性方程

数学領域中,剛性方程(stiffness equation)是指一个微分方程,其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定,只要時間間隔略大,其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程,然而粗略而言,若此方程式中包含使其快速變動的項,則其為剛性方程。

在積分微分方程時,若某一區域的解曲線英语Integral curve的變化很大,會希望在這個區域的積分間隔密一些,若另一區域的曲線近似直線,且斜率接近零,會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題,就算曲線近似直線,仍然需要用非常小的積分間隔來積分,這種現象稱為「剛性」。有時可能會出現兩個不同問題,一個有「剛性」,另一個沒有,但兩個問題卻有同一個解的情形。因此「剛性」不是解本身的特性,而是微分方程的特性,也可以稱為是刚性系統

範例编辑

 
在求解一個刚性常微分方程時,用顯式方法出現的不穩定情形

考虑下面的初值问题

 

其精确解是

 ,并且显然当  

會希望数值解能够具有相同的特性。

若以歐拉方法來求數值解,則使用不同的步长(step size)將會得到不同的結果。第一种,步长 欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为 时,得到的结果在图的范围以内。但是它依然在0附近震荡,并且不可能表示精确的解。

梯形法,即两阶段亚丹士-莫耳吞法英语Linear multistep method,表达为

 

其求得的結果比欧拉法的結果要好很多。如上图所示,数值结果单调地减少到零,如同精确解一样。

特征编辑

剛性系統的特色是該系統所有特征值的实部均为负数,并且其中特征值实部絕對值中,最大和最小的比值远大于1。

龙格-库塔法编辑

將龍格-庫塔法應用至測試方程 ,可以得到如 的形式,並可歸納出 ,其中 稱為穩定性函數。因此 的條件等價於 。這啟發了絕對穩定區域(有時簡稱為穩定區域)的定義,亦即集合 

若一個方法的穩定區域包含 (即左半平面),則稱該方法為A-穩定英语A-stability

例子: 欧拉与梯度法编辑

 
粉紅色的圓形區域為歐拉方法的穩定區域。
 
粉紅色的區域為梯形法的穩定區域。

参见编辑

参考资料编辑

  • Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532 .
  • Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969 .
  • Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 .
  • Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 .
  • Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026 .

外部链接编辑