一般拓扑学与数学的相关领域中,给定集合上的一族函数,其初拓扑(initial topology)是使得这一族函数连续最粗糙拓扑。

子空間拓撲積拓撲都是初拓扑的特例。事实上,初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑

定义 编辑

定義 —  集合,設有一集合族   與其指標集  

 

還有一族與之相對應的拓扑  

 
 

和一函数 

 
 

  上關於  初拓扑  ,定義為「對所有     -   连续」的最粗糙拓扑。

定理 —   是上述定義所說,   上關於   的初拓扑,取:

 

  拓撲基,且   就是由   所生成的拓扑。

證明
因為:
 

所以:

 

另外對於任意 ,和任意   有:

 

這樣,因為   ,所以:

 

根據以上所述,   的確是   的拓撲基。

另外,對任意   上的拓撲   來說,「對所有     -   连续」等價於:

「對所有   ,和所有   

也就等價於:

 

這樣根據拓撲基的性質(1)  就是   所生成的拓撲,至此本定理得證。 

上述拓扑基   裡的元素通常被稱為圓柱集合英语Cylinder setcylinder set)。

实例 编辑

性质 编辑

特征性质 编辑

给出任意拓扑空间 ,X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立:
  的映射 是连续的,当且仅当   是连续的。

Evaluation 编辑

从闭集分离点 编辑

 从闭集分离点,如果 中任意闭集 ,与任意不属于 的点  ,使得
 
这里的cl闭包算子

关于初拓扑有如下定理:
一族连续映射从闭集分离点,当且仅当the cylinder sets构成集合 的一个基。

从这个定理可以得到,如果 上有一族连续映射从闭集分离点,那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的,因为初拓扑是由 为子基生成的拓扑,在这个定理中要求the cylinder sets是集合 的一个基。

参考资料 编辑