半單模

(重定向自半單環

模論中,一個 上的左 若可表為單模的直和,便稱 半單模

本條目中的環皆有乘法單位元素 。對於右模,相應的陳述依然成立。

等價定義编辑

以下陳述彼此等價:

  •   是單模的和。
  •   是其單子模的和。
  • 對每個子模  ,存在子模   使得  

性質编辑

  •   是半單模,則其子模與商模亦然。
  •   是半單模,則   亦然。

半單環编辑

藉由環的乘法運算,每個環   都可視為左(或右)  -模。若   是半單  -模,則稱  半單環。可以證明:環   是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環阿廷環

半單環的角色之一,在於半單環   上的模都是半單模,而且任何單左模都可嵌入   中,成為其極小左理想。這遂大大便利了對  -模結構的研究。

對於非交換環,單環未必是半單環,儘管術語上引人如此聯想。

例子编辑

  •    有限群,則群代數   半單的充要條件是   的特徵不整除  。此結果是有限群表示理論的基石。
  • Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構:一個環   半單若且唯若它同構於  ,其中每個   皆為除環  表示   上的   矩陣代數。
  •   為域   上之有限維向量空間 。則  多項式環   上的左模,結構由   給出。此時   半單的充要條件是  代數閉包  可對角化

文獻编辑

  • N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
  • R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
  • T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.