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经典逻辑中,否定后件拉丁語modus tollens)有如下论证形式:

如果P,则Q。
非Q。
所以,非P。

它也可也被认为是否定结论,是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与歸謬法 (Proof by contradiction)(假设命题的否定成立,证明这会导致矛盾)或者反證法 (Proof by contrapositive)(证明如果P则Q,通过证明如果非Q则非P的方法实现)相混淆。

例子编辑

否定後件的例子如下:

  • 如果小橘子姐姐沒有天分(P),她賽車就不會開得很好(Q)
  • 小橘子姐姐賽車開得很好(非Q)
  • 所以,小橘子姐姐有天分(非P)

歸謬法的例子如下:

  • 假定 是一個有限循環群,且 單群,則 質數
  • 也就是說,
  •  不是質數,則 不是有限循環群,或者 不是單群。
  • 證明:
    • 假定原論述不成立,那麼就表示「 不是質數」是錯的
    • 也表示說「若 不是質數,則 不是有限循環群,或者 不是單群。」是錯的
    • 這就表示「有個集合 是有限循環群,且 單群」,而且「 不是質數
    • 現在假定 的階是 ,生成元是  單位元則記做 ,因此有 
    • 由於 循環群,因此  是生成元,因此 的所有元素都可表示成 的形式,其中 ;又 不是不是質數,因此存在兩個大於等於2的正整數  ,使得 
    • 由此可知,  的元素,且 
    • 所有形如 的元素可構成 的一個真子群 ,且 
    • 由於 是循環群,因此 是一個交換群
    • 由於 是交換群,因此 的所有子群都是正規子群
    •   的一個真子群。
    •   的一個正規子群。
    •   和自身以外的正規子群,此與 單群的假設矛盾。
    • 這表示先前的假設「『若 不是質數,則 不是有限循環群,或者 不是單群。』是錯的」這條是錯的。
    • 因此原論述「假定 是一個有限循環群,且 單群,則 質數。」是對的。

证明编辑

步骤 命题 推论
1   已知
2   已知
3   實質條件 (1)
4   選言三段論 (2,3)

参见编辑