圓內接多邊形

幾何學中,圓內接多邊形是指存在外接圓多邊形,且該外接圓能使多邊形的所有頂點都位於該邊界上,換句話說若這個多邊形的所有頂點都能位於同一個圓上,則可稱其為圓內接多邊形。所有的三角形都是圓內接多邊形,而四邊形以上的多邊形則不一定。若一四邊形的四個頂點都在同一個圓上則稱為圆内接四边形

一個圓內接五邊形

圓內接多邊形的對偶多邊形為圓外切多邊形。此外,所有正多邊形都是圓內接多邊形。

性質编辑

若一個奇數邊數的圓內接多邊形,若其所有角度都相等時,則其為正多邊形,反之亦然。而若圓內接多邊形的邊數為偶數,且其所有角度都相等時,則其稜會交錯相等,反之亦然[1]

圓內接五邊形编辑

 
一個面積為7392的羅賓斯五邊形英语Robbins pentagon

若一圓內接五邊形的邊長和面積皆為有理數,該五邊形稱為羅賓斯五邊形英语Robbins pentagon。目前已知的所有羅賓斯五邊形對角線長也皆為有理數[2]

圓內接四邊形编辑

在一个圆内接四边形中,相对的两内角是互补的,它们度数之和为180[3]。与此等价的说法是,圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。相对的两内角互补是圓內接四邊形的充分必要條件,即,圆内接四边形相对的两内角互补,且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形(四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓)。

點到頂點頂點距離编辑

設A為圓內接多邊形,其為一個n邊形,而其頂點分別為A1 , ..., An,並位於單位圓上,則對位於弧A1An上的任意點M,從頂點到M的距離滿足[4]:p.190,#332.10

 

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.
  2. ^ Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A., Cyclic polygons with rational sides and area, Journal of Number Theory, 2008, 128 (1): 17–48 [2018-11-18], MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005, (原始内容存档于2018-11-12) .
  3. ^ 欧几里得,《几何原本》第三章,命题22页面存档备份,存于互联网档案馆
  4. ^ Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum, [1]页面存档备份,存于互联网档案馆).

外部連結编辑