圆内接四边形
在几何中,圆内接四边形(英文:Cyclic quadrilateral)是四边形的一种。顾名思义,圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Cyclic_quadrilateral.svg/220px-Cyclic_quadrilateral.svg.png)
性质
编辑在一个圆内接四边形中,相对的两内角是互补的,它们度数之和为180度[1]。与此等价的说法是,圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。一個四邊形為圓內接四邊形的充分必要條件是其相对的两内角互补,即,圆内接四边形相对的两内角互补,且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形(四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓)。
托勒密定理指出,圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积(如右图)。对于非退化的四边形,如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,那么必定是圆内接四边形[2]。
凸四边形的两条对角线将自身分成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形,那么相对的两个三角形是相似的。如右图中, 是圆内接四边形 的两对角线交点,则 , 。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理:设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的 ),那么其中一条对角线被点 所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点 所分成的两段的长度之乘积: 。相应的逆命题也成立:如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点 ,且 (或 ,或 ),那么四边形 是圆内接四边形。
在四边形中,矩形、正方形都是圆内接四边形;鳶形和梯形可能是圆内接四边形。如果一个四边形既是平行四边形又是圆内接四边形,那么它是一个矩形。如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形,那么它是一个等腰梯形。如果一个鳶形是圆内接四边形,那么它至少有一对对角是直角。
面积
编辑在已知四边的边长时,圆内接四边形的面积可通过婆羅摩笈多公式给出[3]。若圆内接四边形的四边边长分别是 , , , ,则其面积为:
其中 為半周长:
可以证明,在所有周长为定值 的圆内接四边形中,面积最大的是正方形。