垂线偏差

垂线偏差(英語:Vertical deflection)指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异,也即重力异常矢量的方向。[1]垂线偏差可以表示为当地天文坐标地理坐标之间的差异,其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定,而后者是天文坐标投影椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。[2]

蓝色直线为过交点的垂线方向,红色直线为过交点的法线方向,两者间的差异即为垂线偏差

数学表达编辑

 大地水准面上一点,其所处的垂线方向为  ,通过重力测量方式测得的天文坐标为   。将其沿参考椭球面法线   投影至椭球面上的点  ,得到其地理坐标为   。在实际测量过程中,常以其在南北方向(即子午圈方向)上的投影   和其在东西方向(即卯酉圈方向)上的投影   描述:

 

与重力异常和重力扰动的关系编辑

  点处测量得到的真实重力矢量 ,而   点处计算得到的正常重力矢量 ,则   点处的重力异常矢量为:[1]

 

又设   点处测量得到的正常重力矢量为  ,则   点处的重力扰动矢量为:[1]

 

重力异常矢量和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向,因为    两点的正常重力方向在同一条直线上。

与大地水准面高的关系编辑

大地水准面高即为两点间的距离   ,垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点  ,垂线偏差在此平面内的分量  大地水准面高  大地水准面上的弧微分   存在如下几何关系:

 

习惯上取沿法线向下的方向为正,因此上式中的   为负值。又因垂线偏差的分量   是微小量,即   ,因此上式也可写成:

 

再以地球平均半径   替代点   在各法截面上的曲率半径,得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为

 

分别取垂直面分别与子午圈平行(即  )和与卯酉圈平行(即  ),得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为:[2]

 

参见编辑

参考文献编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Sneeuw, Nico. Physical Geodesy (PDF). Institute of Geodesy Universität Stuttgart. 2006: 104–108 [2020-04-02]. (原始内容 (PDF)存档于2020-04-13). 
  2. ^ 2.0 2.1 宁津生. 管泽霖 , 编. 地球形状及外部重力场. 测绘出版社. 1981: 243–249.