泛函

泛函（functional）指以函數构成的向量空间为定義域，实数为值域为的「函數」，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

弧长泛函以可求長曲線组成的向量空间（$C([0,1],\mathbb {R} ^{3})$的一个子集）为定义域，以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。

黎曼积分是以从$\mathbb {R}$到$\mathbb {R}$的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函。

设$S\$是由一些函数構成的集合。所谓$S\$上的泛函就是$S\$上的一个实值函数。$S\$称为该泛函的容许函数集。

函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。

例子

设在 xOy 平面上有一簇曲线 $y(x)$, 其长度为$L=\int _{C}ds=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx$。

显然，$y(x)$不同, $L$也不同，即$L$的数值依赖于整个函数$y(x)$ 而改变。 $L$ 和函数 $y(x)$ 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。

性质

對偶性

觀察映射

$x_{0}\mapsto f(x_{0})$

是一個函數，在這裡，$x_{0}$是函數f的自变量。

同時，將函數映射至一個點的函數值

$f\mapsto f(x_{0})$

是一個泛函，在此$x_{0}$是一個參數

只要 $f$ 是一個從向量空間至一個佈於實數的體的線性轉換，上述的線性映射彼此對偶，那麼在泛函分析上，這兩者都稱作線性泛函。

参见

• 线性泛函
• 最优化
• 张量

参考资料

• Rowland, Todd. Functional. MathWorld. 
• Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556