泛函

泛函（functional）指以函数构成的向量空间为定义域，以实数或复数域为值域的“函数”，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

弧长泛函以可求长曲线组成的向量空间（$C([0,1],\mathbb {R} ^{3})$的一个子集）为定义域，以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。

黎曼积分是以从$\mathbb {R}$到$\mathbb {R}$的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函。

设$S\$是由一些函数构成的集合。所谓$S\$上的泛函就是$S\$上的一个实值函数。$S\$称为该泛函的容许函数集。

函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。

例子

设在 xOy 平面上有一簇曲线 $y(x)$, 其长度为$L=\int _{C}ds=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx$。

显然，$y(x)$不同, $L$也不同，即$L$的数值依赖于整个函数$y(x)$ 而改变。 $L$ 和函数 $y(x)$ 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。

性质

对偶性

观察映射

$x_{0}\mapsto f(x_{0})$

是一个函数，在这里，$x_{0}$是函数f的自变量。

同时，将函数映射至一个点的函数值

$f\mapsto f(x_{0})$

是一个泛函，在此$x_{0}$是一个参数

只要 $f$ 是一个从向量空间至一个布于实数的体的线性转换，上述的线性映射彼此对偶，那么在泛函分析上，这两者都称作线性泛函。

参见

• 线性泛函
• 最优化
• 张量

参考资料

• Rowland, Todd. Functional. MathWorld. 
• Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556