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永乐大典杨辉增乘开方法
贾宪增乘开平方法

增乘开平方法北宋数学家贾宪发明的开方算法,原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚,但他对数学的重要贡献,被南宋数学家杨辉引用,被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四,幸得以保存下来[1]。现存英国剑桥大学图书馆。 杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图,并说明“杨辉详解开方本源,出《释锁算书》,贾宪用此术”。[2]

术文编辑

增乘开平方法,以商数乘下发递增求之。

商第一位。上商得数以乘下发为乘方。命上商除实。上商得数以乘下发入乘方。一退为廉,下法再退。

商第二位。商得数以乘下发为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅,皆名曰廉。一退,下法再退,以求第三位商数。

商第三位。用法如第二位求之。

算筹十进位制布位编辑

  • 算筹的布位。贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行:

下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标签;上行七一八二四成为十进位制数码。

然后将算筹码依次排在相应的位值标签步、十、百、千、万之下:

         

杨辉算草编辑

杨辉以七万一千八百二十四为例,列出详细算草。 算草分四行,被除数放在第二行,称为,第一行是商,第四行为下法,第三行是廉。 将算筹 放在第四行万字之下。 

         
  下法

第一步先估计第一个商数得2,将 安置在第一行百位置之上。 将上商2乘下法1,得数2,放在第三行。命上商除实,二二得四,从 万减去四万得 万。

 
         
 
  下法

求第二个商数:将上商乘下法二一得二,加入廉二,成为 。 将廉数 (万)退一位成为 (千);将下法 退二位。

作减根变换  ,得  

 
         
 
  下法

估第二位商数得6,将新商数6乘下法1(百)得6(百)并入廉。

   
         
   
  下法

从实除去商6乘廉46

   
       
   
  下法

商数6乘下法1,并入廉

   
       
   
  下法

廉数退一位,下法退二位,估第三位商得8;商乘下法并入廉

     
       
     
  下法

从实除去商乘廉;净除。七万一千八百二十四的平方根是二百六十八。

     
     
  下法

用增乘开平方法可解得  

参考文献编辑

引用编辑

  1. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第五卷 第二编第一章贾宪 30-40
  2. ^ 吴文俊主编 中国数学史大系第五卷 第六编第一章杨辉 565

来源编辑

  • 钱宝琮:《增乘开方法的历史发展》,《李俨钱宝琮科学史全集》卷9 479-488页

参见编辑