居里定律

居里定律是指在顺磁性材料中,材料的磁化强度大致与施加的磁场强度成正比。然而,若加热材料,则比值减小。对于固定场强的磁场,磁化率大致与温度成反比。

其中

是磁化强度
磁感应强度
是温度,以开尔文为单位
是材料的居里常数

居里定律是在实验中由皮埃尔·居里得到的,它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导,则能得到在低温和强磁场条件下,磁化强度趋于饱和的结果,而非由定律预言的持续增加。

用量子力学推导编辑

 
顺磁体的磁化强度 是温度的反比函数.

顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩 。磁场中磁矩能量由下式给出:

 

双态 (自旋-½)粒子编辑

为简化计算,我们将顺磁体内的粒子看作是双态粒子:其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此,磁矩的可能值只能是 或者  。如果是这样,那么这样的粒子只有两种可能的能量


 

以及

 

顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说,就是磁化强度 期望值

 

其中,每一种情况的概率由其玻尔兹曼因子给出,配分函数 为概率提供必要的归一化(即所有这些概率的总和是归一的)。 一个粒子的配分函数是

 

因此,在双态粒子简单的情形中,我们有

 

这是单个粒子的磁化强度,固体的总磁化强度由下式给出

 

其中n是磁矩的数密度。上式被称为朗之万顺磁方程

皮埃尔·居里(Pierre Curie)在实验中发现:当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中,这个定律的近似成立。在 值较大且 值较小时,上式中双曲正切的自变量减少,即:

 

上式有时被称为 居里区间. 同时,我们知道如果 ,那么 ,因此

 

因此磁化强度也很小,有 ,可以得到

 

更重要的一点是,磁化率由下式给出

 

 

其中 居里常数  , 单位 开尔文 (K).[1]

在低温或高场的情况下, 趋向于 的最大值,对应于所有粒子与场完全对齐。 由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子,泡利不相容原理禁止其自旋翻转,所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。 根据费米-狄拉克分布,在低温下 线性依赖于磁场,因此磁化率饱和到一个常数。

一般情况编辑

当粒子具有任意自旋(任意数量的自旋状态)时,公式有点复杂。 在低磁场或高温下,自旋遵循居里定律,居里常数

 [2]

其中  总角动量量子数  是 自旋的 因子 (例如   是磁量子数)。

对于这个更一般的公式及其推导(包括高场强,低温),请参阅文章:布里渊函数。 当自旋接近无穷大时,磁化公式接近下一节中推导的经典值。

用经典统计力学推导编辑

当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时,适用另一种处理方法。在这种情况下,它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定,其中一个粒子的能量是

 

其中   是磁矩和磁场之间的角度(假设磁场指向 轴)。对应的配分函数

 

可以看出上式中被积函数对   角没有依赖性,令   以获得

 

现在,磁化强度的 分量的预期值(另外两个被视为零,由于在 上的积分),由下式给出

 

为简化计算, 可以将其写作 微分:

 


(这种方法也可以用于上面的模型,但计算非常简单,所以没有那么有用。)

继续推导发现

 

其中  郎之万函数:

 

对于小  ,此函数似乎是奇异的,但事实并非如此,因为两个奇异项相互抵消。事实上,它对小参数的极限是 ,因此居里极限也适用,但在这种情况下,居里常数要小三倍。同样,对于其参数的较大值,函数在   处饱和,并且同样会恢复相反的极限。

参见编辑

参考资料编辑

  1. ^ Coey, J. M. D.; Coey, J. M. D. Magnetism and Magnetic Materials. Cambridge University Press. 2010-03-25 [2022-02-23]. ISBN 978-0-521-81614-4. (原始内容存档于2022-02-23) (英语). 
  2. ^ Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics, 8th Edition. Wiley. : 304. ISBN 0-471-41526-X.