打开主菜单

歸一條件

(重定向自歸一化

量子力學裏,表達粒子量子態波函數必須滿足歸一條件歸一化英语:be normalized),也就是說,在空間內,找到粒子的機率必須等於 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達,

 ;

其中, 是粒子的位置, 是波函數。

目录

歸一化導引编辑

一般而言,波函數   是一個複函數。可是,  是一個實函數,大於或等於   ,稱為「機率密度函數」。所以,在區域   內,找到粒子的機率  

 (1)

既然粒子存在於空間,機率是   。所以,積分於整個一維空間:

 (2)

假若,從解析薛丁格方程而得到的波函數   ,其機率   是有限的,但不等於   ,則可以將波函數   乘以一個常數,使機率   等於   。或者,假若波函數內,已經有一個任意常數,可以設定這任意常數的值,使機率   等於  

實例编辑

在一維空間內,束縛於區域   內的一個粒子,其波函數是

 

其中, 波數 角頻率  是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值   。將波函數代入:

 

積分於整個粒子存在的區域:

 

稍加運算,

 

歸一化的波函數是:

 

薛丁格方程的形式不變编辑

薛丁格方程為

 

其中, 約化普朗克常數 位勢 能量

將波函數   歸一化為   。則薛丁格方程成為

 
 
 

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化,薛丁格方程是個不變式,因為薛丁格方程是個線性微分方程式

一個表達粒子量子態的波函數,必須滿足粒子的薛丁格方程。既然    都能夠滿足同樣的薛丁格方程,它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數,則只能知道機率的相對大小;否則,使用歸一化的波函數,可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析,會提供許多便利。

歸一化恆定性编辑

給予一個歸一化的波函數.隨著時間的變化,波函數也會改變.假若,隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件,則勢必要重新將波函數歸一化.這樣,歸一常數   變得含時間.很幸運地,滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的.設定波函數   滿足薛丁格方程與歸一條件:

 
 

假若,歸一性是恆定的,則機率   不含時間。為了顯示這一點,先計算  

 

展開被積函數

 

編排薛丁格方程,可以得到波函數   對於時間的偏導數:

 

共軛波函數   對於時間的偏導數為

 

   代入被積函數

 

代入   的方程式:

 

可是,在     都等於 0 .所以,

 

機率   不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻编辑

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 

參閱编辑

外部連結编辑