正則變換

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。

定義

點變換（point transformation）將廣義坐標$\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})$變換成廣義坐標$\mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})$，點變換方程式的形式為

$q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$；

其中，$t$是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量$\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})$同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

$q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$，

$p_{i}=p_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N$；

其中，$\mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})$是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$變換為一組新的正則坐標$(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為

${\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}$，

${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}$；

新的哈密頓方程式為

${\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}$，

${\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}$；

其中，${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$、${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處

思考一個物理系統的哈密頓量

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標$q_{i}$無關，則稱$q_{i}$為可略坐標（ignorable coordinate），或循環坐標（cyclic coordinate）：

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0$。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0$。

所以，廣義動量$p_{i}$是常數$k_{i}$。

假設一個系統裏有$n$個廣義坐標是可略坐標。找出這$n$個可略坐標，則可以使這系統減少$2n$個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法

主項目：正則變換生成函數

採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})$變換到$(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})$。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]dt=0$、

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\right]dt=0$。

那麼，必須令

$\sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+{\frac {dG}{dt}}$；

其中，$\sigma$是標度因子，$G$是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個$\sigma \neq 1$的延伸正則變換表示為

$\sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}\right]=\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}}$。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量： $\mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} '$、 $\mathbf {P} =\beta \mathbf {P} '$、 ${\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,'$、 $G=\alpha \beta G\,'$；其中，$\alpha ,\ \beta$是用來刪除$\sigma$的常數，$\sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}$。經過一番運算，可以得到

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}=\alpha {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {P} '}}=\alpha {\dot {\mathbf {Q} }}'={\dot {\mathbf {Q} }}$、

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=\beta {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {Q} '}}=-\beta {\dot {\mathbf {P} }}'=-{\dot {\mathbf {P} }}$、

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\alpha \beta (\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}})=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}$。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。

生成函數$G$的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$保證是正則變換。

第一型生成函數

第一型生成函數$G_{1}$只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

$G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$。

新廣義坐標$\mathbf {Q}$和舊廣義坐標$\mathbf {q}$都是自變量，其對於時間的全導數${\dot {\mathbf {Q} }}$和${\dot {\mathbf {q} }}$互相無關，所以，以下$2N+1$個方程式都必須成立：

$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}$，（2）

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}$，（3）

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$。（4）

這$2N+1$個方程式設定了變換$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$，步驟如下：

第一組的$N$個方程式（2），設定了$\mathbf {p}$的$N$個函數方程式

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出$\mathbf {Q}$的$N$個函數方程式

$\mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。（5）

第二組的$N$個方程式（3），設定了$\mathbf {P}$的$N$個函數方程式

$\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$。

代入函數方程式（5），可以算出$\mathbf {P}$的$N$個函數方程式

$\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。（6）

從$2N$個函數方程式（5）、（6），可以逆算出$2N$個函數方程式

$\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$，

$\mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$。

代入新哈密頓量${\mathcal {K}}$的方程式（4），可以得到

${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$。

第二型生成函數

第二型生成函數$G_{2}$的參數是舊廣義坐標$\mathbf {q}$、新廣義動量$\mathbf {P}$ 與時間：

$G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)$；

以下$2N+1$方程式設定了變換$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$：

$\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}$，　

$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}$，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$。

第三型生成函數

第三型生成函數$G_{3}$ 的參數是舊廣義動量$\mathbf {p}$、新廣義坐標$\mathbf {Q}$與時間：

$G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$。

以下$2N+1$方程式設定了變換$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$：

$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}$，

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}$，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}$。

第四型生成函數

第四型生成函數$G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$的參數是舊廣義動量$\mathbf {p}$、新廣義動量$\mathbf {P}$與時間：

$G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$。

以下$2N+1$方程式設定了變換$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )$：

$\mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}$，

$\mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}$，

${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}$。

實例1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

$G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q}$。

生成函數的導數分別為

$\mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q}$，

$\mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q}$。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)$。

實例2

再擧一個比較複雜的例子。讓

$G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P}$；

這裏，$\mathbf {g}$是一組$N$個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

$\mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)$。

不變量

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

辛條件

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個$2N\times 1$的豎矩陣${\boldsymbol {\xi }}$ :

${\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]$。

變數向量${\boldsymbol {\xi }}$將$\mathbf {q}$與$\mathbf {p}$包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

${\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$；

這裏，${\boldsymbol {\Omega }}$是辛連結矩陣、${\mathcal {H}}$是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標${\boldsymbol {\xi }}$改變成新正則坐標${\boldsymbol {\Xi }}$，${\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}$；哈密頓量也從舊的哈密頓量${\mathcal {H}}$改變成新的哈密頓量${\mathcal {K}}$，${\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}$；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

${\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}$；

這裏，${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}$。

用第一型生成函數$G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)$，則${\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}$。

取${\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)$關於時間$t$的導數，

${\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}$；

這裏，$\mathbf {M}$是亞可比矩陣，$M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}$。

代入哈密頓方程式，

$\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}$ ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

$\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}$。

而${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})$，所以，

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}$。

代回前一個方程式，取${\dot {\boldsymbol {\xi }}}$的係數，則可以得到

$\mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}$。

經過一番運算，

$\mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}$；

$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}$；

可以求出辛條件：

$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量

在相空间裏，兩個函數$f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$關於正則坐標$\mathbf {q} ,\ \mathbf {p}$的帕松括號定義為

${\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)$。

用辛標記，

${\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$。

立刻，可以得到下述關係：

${\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0$，

${\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}$。

定義基本帕松括號${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}$為一個方矩陣，其中，元素$ij$的值是${\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}$。那麼，

${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$。

思考一個變換${\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}$。新坐標的基本帕松括號為

${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣$M$是

$M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}$。

代入前一個方程式，則

${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M}$。

假若這變換是正則變換，辛條件$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$必須成立，

${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$。

相反地，假若${\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}$，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為${\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}$，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量

思考兩個函数$f,\ g$對於正則坐標${\boldsymbol {\xi }}$的泊松括號

${\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}$

假若這變換是正則變換，辛條件$\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}$必須成立，

${\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}$。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為${\big [}f,\ g{\big ]}$，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱

• 正則變換列表
• 正則座標
• 帕松括號
• 辛矩陣
• 辛拓撲
• 辛群

參考文獻

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).