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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。

哈密頓力學裏,正則變換(canonical transformation)是一種正則坐標的改變,,而同時維持哈密頓方程的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式刘维尔定理的基礎。

目录

定義编辑

點變換point transformation)將廣義坐標 變換成廣義坐標 ,點變換方程式的形式為

 

其中, 時間

哈密頓力學裏,由於廣義坐標與廣義動量 同樣地都是自變量independent variable),點變換的定義可以加以延伸,使變換方程式成為

 
 

其中, 是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換,稱前一種點變換為位形空間點變換,而後一種為相空間點變換

哈密頓力學裏,正則變換將一組正則坐標 變換為一組新的正則坐標 ,而同時維持哈密頓方程式的形式(稱為形式不變性)。原本的哈密頓方程式為

 
 

新的哈密頓方程式為

 
 

其中,  分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處编辑

思考一個物理系統的哈密頓量

 

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標 無關,則稱 可略坐標ignorable coordinate),或循環坐標cyclic coordinate):

 

在哈密頓方程式中,廣義動量對於時間的導數是

 

所以,廣義動量 是常數 

假設一個系統裏有 個廣義坐標是可略坐標。找出這 個可略坐標,則可以使這系統減少 個變數;使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法编辑

主項目:正則變換生成函數

採取一種間接的方法,稱為生成函數方法,從 變換到 。為了要保證正則變換的正確性,第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

 
 

那麼,必須令

 

其中, 標度因子 生成函數

假若一個變換涉及標度因子,則稱此變換為標度變換scale transformation)。一般而言,標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1,則稱此正則變換為延伸正則變換extended canonical transformation);假若標度因子等於1,則稱為正則變換

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個 的延伸正則變換表示為

 

則可以設定另外一組變數與哈密頓量:     ;其中, 是用來刪除 的常數, 。經過一番運算,可以得到

 
 
 (1)

顯然地,這變換符合哈密頓方程式。所以,任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間,則稱為設限正則變換restricted canonical transformation)。

生成函數 的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 保證是正則變換。

第一型生成函數编辑

第一型生成函數 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,

 

代入方程式(1)。展開生成函數對於時間的全導數

 

新廣義坐標 和舊廣義坐標 都是自變量,其對於時間的全導數  互相無關,所以,以下 個方程式都必須成立:

 (2)
 (3)
 (4)

 個方程式設定了變換 ,步驟如下:

第一組的 個方程式(2),設定了  個函數方程式

 

在理想情況下,這些方程式可以逆算出  個函數方程式

 (5)

第二組的 個方程式(3),設定了  個函數方程式

 

代入函數方程式(5),可以算出  個函數方程式

 (6)

 個函數方程式(5)、(6),可以逆算出 個函數方程式

 
 

代入新哈密頓量 的方程式(4),可以得到

 

第二型生成函數编辑

第二型生成函數 的參數是舊廣義坐標 、新廣義動量  與時間:

 

以下 方程式設定了變換 

 , 
 
 

第三型生成函數编辑

第三型生成函數  的參數是舊廣義動量 、新廣義坐標 與時間:

 

以下 方程式設定了變換 

 
 
 

第四型生成函數编辑

第四型生成函數 的參數是舊廣義動量 、新廣義動量 與時間:

 

以下 方程式設定了變換 

 
 
 

實例1编辑

第一型生成函數有一個特別簡易案例:

 

生成函數的導數分別為

 
 

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同:

 

實例2编辑

再擧一個比較複雜的例子。讓

 

這裏, 是一組 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換,

 

不變量编辑

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變;哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外,正則變換也有幾個重要的不變量

辛條件编辑

辛標記提供了一種既簡單,又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個 的豎矩陣  :

 

變數向量   包裝在一起。這樣,哈密頓方程式可以簡易的表示為

 

這裏, 是辛連結矩陣、 是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換,正則坐標會從舊正則坐標 改變成新正則坐標  ;哈密頓量也從舊的哈密頓量 改變成新的哈密頓量  ;但是,哈密頓方程式的形式仍舊維持不變:

 

這裏, 

用第一型生成函數 ,則 

 關於時間 的導數,

 

這裏, 亞可比矩陣 

代入哈密頓方程式,

  ;

假若限制正則變換為設限正則變換,也就是說,顯性地不含時間,解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間,則仍舊能得到與下述同樣的答案[1],這是一個很好的偏導數習題。現在,限制這正則變換為設限正則變換,則簡化後的方程式為

 

 ,所以,

 

代回前一個方程式,取 的係數,則可以得到

 

經過一番運算,

 
 

可以求出辛條件:

 

在這裏,得到了正則變換的辛條件:一個變換是正則變換,若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量编辑

相空间裏,兩個函數 關於正則坐標 帕松括號定義為

 

用辛標記,

 

立刻,可以得到下述關係:

 
 

定義基本帕松括號 為一個方矩陣,其中,元素 的值是 。那麼,

 

思考一個變換 。新坐標的基本帕松括號為

 

這兩個正則坐標的亞可比矩陣 

 

代入前一個方程式,則

 

假若這變換是正則變換,辛條件 必須成立,

 

相反地,假若 ,則辛條件成立,這變換是正則變換。

所以,一個變換是正則變換,若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時,我們可以忽略下標符號,直接表示為 ,而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量编辑

思考兩個函数 對於正則坐標 的泊松括號

 

假若這變換是正則變換,辛條件 必須成立,

 

所以,任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號,都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時,可以忽略下標符號,直接表示為 ,而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 (英语).