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數學中,辛群可以指涉兩類不同但關係密切的。在本條目中,我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法,通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

李群
E8Petrie.svg


群论
Rubik's cube.svg

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Sp(2n, F)编辑

域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群,記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一,此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言,辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1,有Sp(2,F)=SL(2,F),當n>1時,Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域 、複數域 或非阿基米德局部域,如p進數 。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於 的連通代數群 單連通的,而 基本群則同構於 

 的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣 

 

其中 表示 轉置矩陣,而 是下述反對稱矩陣

 

Sp(n)编辑

緊辛群   定義為   四元數)上保持標準埃爾米特形式

 

之可逆線性變換。換言之,  即四元數上的酉群 。有時此群也被稱為超酉群。  即單位四元數構成之群,拓撲上同胚於三維球  

  並不同構於之前定義的  。下節將解釋其間的聯繫。

   維之緊緻、連通、單連通李群,並滿足

 

李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

 

其中   共軛轉置(在此取四元數之共軛運算)。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群   有时称为酉辛群,记为  

辛群之間的關係编辑

以上定義之  之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作 。此李代數也就是複李群 之李代數,記作 。它有兩個不同的實形式:

  1. 緊緻形式 ,即 之李代數。
  2. 正規形式 ,即 
辛群之間的關係
  矩陣 李群 dim/R dim/C 緊緻 π1
Sp(2n, R) R n(2n + 1) Z
Sp(2n, C) C 2n(2n + 1) n(2n + 1) 1
Sp(n) H n(2n + 1) 1

參見编辑